somme de sous-espaces vectoriels

Dans un plan, prenez un déplacement horizontal et un déplacement vertical. En les additionnant, vous atteignez n'importe quel point : l'ensemble de tous les déplacements ainsi obtenus forme la somme des deux directions.

Si les deux directions n'ont en commun que le déplacement nul, chaque arrivée impose un unique partage entre composante horizontale et composante verticale. La somme est alors directe. Comme ces deux directions remplissent tout le plan, elles y sont aussi supplémentaires.

Soit E un espace vectoriel, et soient E′ et E″ deux sous-espaces de E. Leur somme est l'ensemble des vecteurs obtenus en ajoutant un vecteur de E′ à un vecteur de E″ :

Cette somme est un sous-espace vectoriel de E. C'est aussi le plus petit sous-espace de E qui contient à la fois E′ et E″.

La somme est dite directe, et se note E′ ⊕ E″, lorsque l'intersection E′ ∩ E″ ne contient que le vecteur nul. Cette condition équivaut à l'unicité de la décomposition : tout vecteur de E′ + E″ possède alors une seule écriture v = v′ + v″ avec v′ dans E′ et v″ dans E″. Enfin, E′ et E″ sont supplémentaires dans E lorsqu'ils sont en somme directe et que leur somme est E tout entier.

Dans le plan ℝ², on veut décomposer le vecteur v de coordonnées (3, 2) selon les deux axes. Une représentation géométrique permet de contrôler que les deux composantes rejoignent bien l'extrémité de v.

Données.
E′ est l'axe horizontal, formé des vecteurs (x, 0).
E″ est l'axe vertical, formé des vecteurs (0, y).
Le vecteur à décomposer est v = (3, 2).

1. La composante appartenant à E′ conserve la première coordonnée : v′ = (3, 0).

2. La composante appartenant à E″ conserve la seconde coordonnée : v″ = (0, 2).

3. On additionne coordonnée par coordonnée :Le résultat appartient donc à E′ + E″.

Le contrôle d'unicité est direct : un vecteur commun aux deux axes doit avoir simultanément la forme (x, 0) et (0, y), donc il vaut (0, 0). Ainsi E′ ∩ E″ = {(0, 0)} et ℝ² = E′ ⊕ E″.

Pour décrire un vecteur par blocs de coordonnées, on cherche des composantes dans des sous-espaces choisis. Si leur intersection est réduite au vecteur nul, la décomposition obtenue ne dépend d'aucun choix.

Pour vérifier que deux sous-espaces couvrent l'espace ambiant, on établit d'abord que tout vecteur est leur somme. On contrôle ensuite leur intersection. Une intersection non nulle impose de parler de somme, mais interdit de conclure à une somme directe.

Pour construire des coordonnées adaptées, des sous-espaces supplémentaires fournissent deux groupes de directions indépendants qui couvrent tout E. Si la couverture de E échoue, ces groupes décrivent seulement le sous-espace E′ + E″.

Somme et réunion. La réunion E′ ∪ E″ ne contient que les vecteurs déjà présents dans l'un des deux sous-espaces. La somme E′ + E″ contient aussi leurs additions. Dans ℝ², (1, 1) appartient à la somme des deux axes, mais à aucun des deux axes et donc pas à leur réunion.

Somme directe et orthogonalité. Une somme directe exige une intersection réduite au vecteur nul, pas des directions perpendiculaires. Dans ℝ², l'axe horizontal et la droite des vecteurs (t, t) sont en somme directe, bien que leur angle ne soit pas droit.

Intersection non nulle. Si un vecteur u non nul appartient à E′ ∩ E″, toute décomposition v = v′ + v″ en produit une autre : v = (v′ + u) + (v″ − u). Il faut alors écrire E′ + E″, sans symbole ⊕, car les composantes ne sont pas uniques.

Somme directe incomplète. E′ ∩ E″ = {0} assure l'unicité dans E′ + E″, mais pas que cette somme égale l'espace ambiant E. Le mot « supplémentaires » n'est valable qu'après avoir vérifié aussi E′ + E″ = E.

Plus de deux sous-espaces. Des intersections deux à deux réduites à {0} ne suffisent pas. Dans ℝ², l'axe horizontal, l'axe vertical et la droite des vecteurs (t, t) ont cette propriété. Pourtant, (1, 0) + (0, 1) + (−1, −1) = (0, 0) donne une relation non triviale. Pour une somme directe de plusieurs sous-espaces, n désigne leur nombre et u_i une composante du i^e sous-espace. Le critère est :

Sous-espace nul. Pour tout sous-espace E′, la somme E′ + {0} vaut E′ et elle est directe. Ces deux sous-espaces ne sont toutefois supplémentaires dans E que lorsque E′ = E.

La fiche espace vectoriel replace les sous-espaces, leurs opérations et leurs vecteurs dans la structure algébrique qui les rend possibles.

La notion de famille libre éclaire l'unicité des coefficients et le rôle de l'indépendance dans une décomposition.

L'article Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire prolonge la lecture vers les noyaux et les images.