Stifel Michael

En 1544, Michael Stifel rassemble dans son Arithmetica Integra des outils qui rendent les calculs algébriques plus lisibles. On y rencontre les signes +, − et √, ainsi que les coefficients du triangle binomial.

Ce moine et mathématicien allemand travaille donc à une époque où l'écriture de l'algèbre se stabilise. Il accepte aussi d'employer les nombres négatifs, même s'il les appelle encore « absurdes », et rapproche progressions arithmétiques et géométriques, anticipant ainsi un principe des logarithmes.

Michael Stifel (1486-1567) est un moine et mathématicien allemand, représentatif de l'école cossiste. D'abord prêtre catholique, il entre en conflit avec l'Église catholique et trouve refuge auprès de Luther. Il enseigne ensuite la théologie et les mathématiques, notamment à Königsberg puis à Iéna.

Ses recherches concernent l'arithmétique, l'algèbre et, plus précisément, les équations polynomiales. Son ouvrage majeur, l'Arithmetica Integra, paraît en 1544. Il y présente les coefficients du triangle binomial près d'un siècle avant Pascal, ainsi que les notations +, − et √. Ces choix d'écriture participent au développement des notations algébriques.

Stifel emploie également les nombres négatifs tout en les qualifiant d'« absurdes », signe d'un usage possible malgré un statut encore problématique à ses yeux. Il met aussi en correspondance des progressions arithmétiques et géométriques, anticipant ainsi un principe des logarithmes sans en donner la construction développée plus tard par Neper.

Prenons une idée présente dans l'Arithmetica Integra : les coefficients du triangle binomial. Pour développer le cube d'une somme, les deux quantités sont notées a et b.

Données.
Le rang correspondant au cube porte les coefficients 1, 3, 3 et 1.
Les exposants de a décroissent de 3 à 0.
Les exposants de b croissent de 0 à 3.

1. On associe successivement les quatre coefficients aux quatre produits : a³, a²b, ab² et b³.

2. Le développement obtenu est :La suite 1, 3, 3, 1 commande donc les multiplicateurs des quatre termes.

3. Contrôle. Pour a = 1 et b = 1, le membre de gauche vaut 2³ = 8. Le membre de droite vaut 1 + 3 + 3 + 1 = 8 : les deux calculs concordent.

Dans une histoire de l'algèbre, Stifel sert à observer le passage vers des écritures plus compactes. La présence des signes +, − et √ dans son ouvrage fournit alors un repère concret, plus précis qu'une formule vague sur la « naissance » de l'algèbre.

Pour étudier le triangle binomial, on peut comparer le nom tardif de « triangle de Pascal » avec la présentation de coefficients par Stifel en 1544. Le bon critère est la date du document étudié, sans attribuer toute l'histoire de l'objet à un seul auteur.

Lorsqu'un texte ancien traite des nombres négatifs, le vocabulaire mérite autant d'attention que les calculs. Chez Stifel, le mot « absurdes » n'empêche pas leur emploi ; il révèle plutôt la tension entre pratique algébrique et statut conceptuel.

Stifel et Pascal. Le triangle binomial n'est pas une invention que la seule appellation « triangle de Pascal » suffirait à dater. Un texte de 1544 présentant ses coefficients relève ici du travail de Stifel ; le nom usuel de l'objet renvoie à Pascal.

Stifel et Neper. Stifel met en regard des progressions arithmétiques et géométriques, une démarche qui anticipe un principe des logarithmes. Cette contribution ne constitue pas l'invention des logarithmes et ne doit pas être confondue avec les constructions publiées plus tard par Neper.

Une date ne couvre pas toute une carrière. L'année 1544 date la publication de l'Arithmetica Integra. Elle ne doit pas devenir automatiquement la date de chaque recherche de Stifel, notamment de son travail sur les logarithmes.

« Absurdes » est un terme historique. Le mot employé par Stifel pour les nombres négatifs peut faire croire qu'il refuse de les utiliser. Le fait décisif est au contraire leur présence dans ses calculs ; le qualificatif renseigne sur leur statut à ses yeux.

Une antériorité ne vaut pas exclusivité. Présenter les coefficients du triangle binomial près d'un siècle avant Pascal établit une antériorité relative. Cela ne suffit pas à faire de Stifel l'unique origine de cet objet mathématique.

Une anticipation n'est pas une invention complète. Stifel rapproche progressions arithmétiques et géométriques, ce qui anticipe un principe des logarithmes. Cela ne suffit pas à lui attribuer leur définition et leur construction, développées plus tard par Neper.

L'article algèbre replace les notations de Stifel dans le langage général des inconnues, des opérations et des équations.

L'entrée arithmétique éclaire l'autre grand domaine auquel l'Arithmetica Integra est consacré.

La fiche triangle de Pascal prolonge l'exemple des coefficients binomiaux et leur organisation en triangle.