suite de Beatty

Prenez un nombre irrationnel supérieur à 1, multipliez-le successivement par 1, 2, 3, puis gardez chaque fois seulement l’entier situé juste en dessous. Avec √2, on obtient ainsi 1, 2, 4, 5, 7… : le nombre 3 a été sauté. Une seconde suite, construite avec le nombre complémentaire 2 + √2, récupère précisément les entiers sautés, sans reprendre ceux de la première.

Soit un nombre irrationnel p. La suite de Beatty de base p est la suite dont le terme de rang n, pour tout entier n ≥ 1, est $a_n=\lfloor np\rfloor a\_n=\backslash lfloor\; np\backslash rfloor$. Le symbole ⌊x⌋ désigne la partie entière de x, c’est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Lorsque p est strictement supérieur à 1, le nombre complémentaire q est défini par $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\backslash frac\{1\}\{p\}+\backslash frac\{1\}\{q\}=1$, donc par $q=\frac{p}{p-1}q=\backslash frac\{p\}\{p-1\}$. Ce nombre q est lui aussi irrationnel et strictement supérieur à 1. Le théorème de Beatty affirme que les suites de termes ⌊np⌋ et ⌊nq⌋ partitionnent ℕ* : chaque entier strictement positif figure une fois dans l’une des suites et jamais dans les deux.

La condition d’irrationalité empêche qu’un produit np tombe exactement sur un entier positif. La condition p > 1 garantit, avec la relation réciproque, que les deux bases avancent assez vite pour produire des termes strictement croissants.

Une paire complémentaire de suites de Beatty repose sur quatre éléments. La base irrationnelle p, supérieure à 1, fixe le rythme de la première suite. Le rang n parcourt les entiers strictement positifs. L’opération de partie entière transforme chaque produit np en un terme entier ⌊np⌋. Enfin, la base complémentaire q est imposée par la relation 1/p + 1/q = 1.

La base et le rang déterminent donc un produit, puis la partie entière détermine le terme. La relation entre p et q règle les deux rythmes ensemble : les entiers omis par une suite sont fournis par l’autre. Ces données suffisent à calculer les deux suites et à contrôler, entier par entier, qu’elles couvrent ℕ* sans chevauchement.

On choisit la base irrationnelle p = √2, avec n entier et n ≥ 1. La base complémentaire vaut exactement q = p/(p − 1) = 2 + √2. On contrôle les entiers de 1 à 14.

1. Pour la première suite, on calcule les parties entières de n√2. Jusqu’à 14, les termes obtenus sont 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12 et 14.

2. Pour la seconde suite, on calcule les parties entières de n(2 + √2). Les termes qui ne dépassent pas 14 sont 3, 6, 10 et 13.

3. On réunit les deux listes : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Chaque entier apparaît une seule fois. Le contrôle est refaisable en recalculant ⌊n√2⌋ et ⌊n(2 + √2)⌋ jusqu’au premier terme supérieur à 14. La figure matérialise cette alternance sans changer l’ordre des entiers.

Pour construire une partition explicite des entiers positifs, on choisit une base irrationnelle p > 1, puis on calcule q = p/(p − 1). Les termes ⌊np⌋ forment une première classe et les termes ⌊nq⌋ la seconde. Une simple liste unique ne convient pas lorsque l’on veut savoir quelle base fournit chaque entier.

Pour vérifier un calcul, on ordonne les termes des deux suites jusqu’à une borne donnée. Si un entier manque ou apparaît deux fois, il faut contrôler la partie entière utilisée et la relation entre les bases. Ce test direct est préférable à une estimation décimale lorsque la valeur est proche d’un entier.

Suite arithmétique. Une suite arithmétique ajoute toujours le même nombre entre deux termes consécutifs. Dans une suite de Beatty, l’écart entre ⌊np⌋ et ⌊(n + 1)p⌋ peut varier à cause de la partie entière. Pour p = √2, les premiers écarts valent 1, puis 2, puis 1.

Arrondi au plus proche. La partie entière prend toujours l’entier inférieur ou égal au nombre considéré ; elle ne choisit pas l’entier le plus proche. Ainsi, la partie entière de 2√2 vaut 2, même si 2√2 est plus proche de 3 que de 2.

Base rationnelle. Le théorème de partition exige une base irrationnelle. Avec p = 2, la relation donne q = 2 : les deux suites coïncident sur les entiers pairs et tous les impairs manquent. Il faut donc vérifier l’irrationalité avant d’appliquer la conclusion.

Base au seuil 1. La construction complémentaire demande p > 1. Pour p = 1, l’expression q = p/(p − 1) comporte une division par zéro. La paire complémentaire du théorème n’est alors pas définie.

Base complémentaire approximative. Remplacer q par un arrondi décimal peut finir par créer un doublon ou un manque. Il faut conserver la relation exacte 1/p + 1/q = 1 aussi longtemps que possible, comme q = 2 + √2 lorsque p = √2.

Départ à n = 0. La partition annoncée concerne ℕ* et les rangs n = 1, 2, 3… Si l’on commence à 0, les deux suites contiennent 0 ; ce terme supplémentaire n’appartient pas à la partition des entiers strictement positifs.

La fiche partie entière précise l’opération qui transforme les produits np en termes de la suite.

L’article Les premiers irrationnels replace l’irrationalité, hypothèse décisive du théorème de Beatty, dans son contexte mathématique.