Eduard Heine ne fait pas partie des mathématiciens les plus connus bien que son nom soit attaché à un théorème sur la continuité uniforme des fonctions continues sur un segment.
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Jusqu'au début du XIXe siècle, tout semblait continu. Avec les séries trigonométriques, les fonctions discontinues sont entrées en scène. Elles ont motivé Riemann à généraliser la notion d'intégrale, poussé Weierstrass à préciser la notion de continuité et amené Darboux à étudier les fonctions dérivées.
L’inégalité de Cauchy – Schwarz est multiforme : elle peut être arithmétique, intégrale, géométrique ; on la retrouve même dans le cadre du calcul des probabilités. Suivons l’histoire de son élaboration, de la formulation numérique de Cauchy vers 1820 à sa forme générale cent ans plus tard.
De Cauchy à Weierstrass, la rigueur s'est imposée en analyse tout au long du XIXe siècle. Des croyances erronées ont été balayées par différents contre-exemples et ont contraint à mieux définir les différentes notions. Certaines fonctions « monstrueuses » ont été introduites, fascinantes pour certains et répugnantes pour d'autres.
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