Parmi les études de Felix Klein figure sa fameuse « bouteille », qui évoque irrésisti-blement un volume que l’on peut remplir. De bouteille il n’en est point car en fait un traducteur allemand s’est à l’origine quelque peu trompé, ou peut-être a voulu faire un jeu de mot, en traduisant Kleinsche Fläche par « bouteille de Klein », au lieu de « surface de Klein » (en allemand, « bouteille » se dit Flasche et surface, Fläche).
L’objet a été décrit pour la première fois en 1882.
La bouteille de Klein, tout comme l’anneau de Möbius (voir l'article *Ceci n'est pas un ruban de Möbius !*), est une curiosité topologique. Mais si le ruban de Möbius ne possède qu’une seule face, la fameuse bouteille, quant à elle, est telle qu’aucune distinction n’est possible entre son « intérieur » et son « extérieur ».
La trace du mouvement d’un cercle
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Il est maintenant temps de rétablir quelques vérités. Les « surfaces » de Klein peuvent également ressembler à l’illustration suivante, vues dans un espace à trois dimensions.
