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Algorithmes de tri : complexité et méthodes | Tangente

Quand on est en présence de données et qu’elles ne sont pas toutes égales, l’une des tâches que l’on rencontre fréquemment est de les trier, c’est-à-dire les ordonner selon un ordre donné : ordre habituel dans les nombres, ordre lexicographique comme dans un dictionnaire, ou tout autre ordre donné par une relation d’ordre total.

Et l’ordre fut établi

La notion d’ordre est présente dans notre vie quotidienne, que l’on range des objets, que l’on compare des quantités ou que l’on réfléchisse à la succession de tâches à effectuer. Il a fallu bien du temps pour que ces activités naturelles soient conceptualisées en mathématiques.

Un peu d'ordre… : les relations d'ordre en maths | Tangente

Les mots du dictionnaire comme les points du plan peuvent être classés. À chaque choix d'une méthode (ordre alphabétique, ordre lexicographique...) correspond un classement : à chacun de choisir la relation d'ordre adaptée à ses besoins !

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en proba | Tangente

Résumer un ensemble d’observations au moyen de quelques nombres clefs est essentiel. Mais dans quelle mesure ces nombres nous renseignent-ils sur les fréquences de certains intervalles ? L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est là pour apporter une première réponse quantitative.

Encore des moyennes : harmonique, arithmétique | Tangente

Les moyennes arithmétique, quadratique, géométrique, harmonique (et tant d'autres) sont en fait quelques exemples d'une famille générale, les moyennes d'ordre p. Elles vérifient une chaîne d'inégalités bien connues.

Cauchy-Schwarz dans la théorie des graphes | Tangente

Prenez dix points et reliez-en certains par des segments, mais sans jamais former de triangles (à savoir des triangles dont les sommets sont parmi les dix points de départ). Combien de segments dessinerez-vous au maximum ?

De l'ordre dans le désordre : réarrangement | Tangente

Prenez une suite de nombres au hasard. Il est peu probable que tous ces nombres soient d’emblée classés par ordre croissant ou décroissant. A-t-on l’espoir d’en extraire quand même des suites parfaitement ordonnées ? Oui, mais pas forcément aussi longues qu’on le souhaite !

La naissance de la thermodynamique et Clausius | Tangente

L’étude de la chaleur a bouleversé notre vision du monde en nous faisant réfléchir à l’existence physique d’une « flèche du temps ». Tout cela tient en une relation des plus simples : l’inégalité de Clausius.

Inégalités sociales : le coefficient de Gini | Tangente

Les statisticiens ont souvent l’habitude de publier des moyennes, qui résument en un seul chiffre un éclairage sur la situation socio-économique du pays. Mais ces moyennes cachent souvent (toujours ?) des situations très contrastées. Un moyen de mieux les mettre en évidence est de chiffrer aussi les inégalités.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz : preuves | Tangente

L’inégalité de Cauchy – Schwarz est multiforme : elle peut être arithmétique, intégrale, géométrique ; on la retrouve même dans le cadre du calcul des probabilités. Suivons l’histoire de son élaboration, de la formulation numérique de Cauchy vers 1820 à sa forme générale cent ans plus tard.

Cinq variantes de l'inégalité de Cauchy-Schwarz | Tangente

L'inégalité de Cauchy-Schwarz se décline dans plusieurs branches des mathématiques : analyse, arithmétique, géométrie, probabilités... Elle est si importante que de nombreuses démonstrations très différentes en ont été proposées !

Tchebychev et ses inégalités sur les suites | Tangente

Des résultats élémentaires peuvent parfois se révéler étonnamment fertiles et déboucher sur une multitude de développements et d’applications. C’est le cas de l’inégalité de Tchebychev.

Deux ou trois ? Un défi arithmétique expert | Tangente

Histoire de moyennes bien rangées : AM, GM, HM | Tangente

« La » moyenne de deux nombres se définit « naturellement » en fonction du contexte. Il ne s’agit pas toujours de l’habituelle moyenne arithmétique ! Différentes notions coexistent, qui entretiennent d’étroites relations les unes avec les autres, comme Liouville, Cauchy ou Jensen l’ont bien compris.

Résoudre une inéquation : méthodes et exemples | Tangente

Certains de nos lecteurs ont sans doute de mauvais souvenirs avec les inéquations.

L'inégalité usuelle dans les nombres réels | Tangente

Quand on connaît leur valeur, on peut toujours comparer deux nombres quelconques, qu’ils soient entiers, fractionnaires ou réels, et dire lequel est le plus petit.

L'inégalité méconnue de Ptolémée expliquée | Tangente

Le mathématicien, géographe et astronome grec Claude Ptolémée a découvert, au IIe siècle de notre ère, un théorème concernant les quadrilatères inscrits dans un cercle. Son résultat est certes beaucoup moins célèbre que celui de son compatriote Pythagore, mais il est tout aussi beau.

Le problème de Didon et l'isopérimétrie | Tangente

Le disque est, à périmètre donné, la figure ayant la plus grande aire. Ce résultat, qui a été popularisé grâce à une astuce que l’on prête à Didon, la fondatrice et première reine de Carthage, est le « théorème isopérimétrique ». Il est à l’origine de nombreuses inégalités plus générales.

Les richesses de l'inégalité triangulaire | Tangente

Qui dit « inégalités » pense souvent arithmétique ou algèbre. Mais les inégalités occupent aussi le domaine géométrique ! La plus fameuse d’entre elles, la célèbre inégalité triangulaire, recèle encore plus d’un tour dans son sac.

Maryna Viazovska sur CultureMATH | Tangente

Le site CultureMath réalisé par l’École normale supérieure, propose, sous forme d’article, un entretien qui mérite l’attention. Nathalie Braun, enseignante de mathématiques, y interviewe Maryna Viazovska.