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Plongez dans l'univers fascinant des mathématiques avec nos articles captivants, rédigés par des experts passionnés. Que vous soyez un amateur curieux ou un mathématicien chevronné, nos articles couvrent une vaste gamme de sujets, des concepts fondamentaux aux découvertes les plus récentes, en passant par des applications pratiques et des réflexions philosophiques.
cercle d'Apollonius
Le terme cercle d'Apollonius désigne deux notions distinctes. Premièrement, le lieu géométrique des points M tels que le rapport MA/MB soit constant égal à k (avec k > 0 et k ≠ 1) est un cercle, dit cercle d'Apollonius relatif aux points A et B et au rapport k. Ce cercle a pour diamètre le segment [IJ], où I et J sont les points de la droite (AB) qui partagent le segment [BA] en rapport k (en division intérieure et extérieure). Deuxièmement, on appelle également cercle d'Apollonius, ou parfois gasket d'Apollonius, la figure fractale engendrée par trois cercles mutuellement tangents. En partant d'un triangle curviligne dont les côtés sont des arcs de cercle, on inscrit un cercle tangent à ces trois arcs, puis on insère de nouveaux cercles dans les interstices en renouvellant indéfiniment le procédé. Cette construction constitue l'un des plus anciens exemples connus de fractale, étudiée par Apollonius de Perge au troisième siècle avant notre ère.
centre radical
Le centre radical de trois cercles est le point qui possède la même puissance par rapport à chacun des trois cercles. Il se construit comme le point d'intersection des axes radicaux de ces cercles pris deux à deux : l'axe radical de deux cercles est le lieu des points ayant même puissance par rapport à chacun d'eux. Si les trois cercles ont des centres non colinéaires, leur centre radical existe et est unique. Le centre radical est un outil fondamental dans l'étude des faisceaux de cercles et des configurations de cercles en géométrie classique.
centre du cercle inscrit
En géométrie du triangle, le centre du cercle inscrit est le point d'intersection des trois bissectrices intérieures du triangle. Ce point, appelé incentre et souvent noté I, est équidistant des trois côtés du triangle. Il est le centre de l'unique cercle tangent aux trois côtés et intérieur au triangle, appelé cercle inscrit. L'incentre est toujours situé à l'intérieur du triangle, quelle que soit sa nature.
centre du cercle exinscrit
Le centre du cercle exinscrit au triangle ABC dans l'angle A est le point d'intersection de la bissectrice intérieure de l'angle A avec les bissectrices extérieures des angles B et C. Ce point est le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle, mais situé à l'extérieur de celui-ci. Tout triangle admet exactement trois cercles exinscrits, un pour chaque sommet. La distance du sommet A au point de contact du cercle exinscrit avec le côté AB (ou avec le côté AC) est égale au demi-périmètre du triangle.
centre du cercle circonscrit
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des trois médiatrices des côtés de ce triangle. Ce point, souvent noté O, est équidistant des trois sommets du triangle : il est le centre de l'unique cercle passant par ces trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle. Si le triangle est rectangle, ce centre est le milieu de l'hypoténuse. Si le triangle est acutangle, il se trouve à l'intérieur du triangle ; s'il est obtusangle, il se trouve à l'extérieur.
centre du cercle des neuf points
Le cercle des neuf points est un cercle remarquable associé à tout triangle, passant par neuf points particuliers : les milieux des trois côtés, les pieds des trois hauteurs, et les milieux des segments joignant l'orthocentre H à chacun des trois sommets. Ce cercle est l'image du cercle circonscrit dans l'homothétie de centre G (centre de gravité) et de rapport -1/2, ainsi que dans l'homothétie de centre H (orthocentre) et de rapport 1/2. Son centre, noté E, se situe donc sur la droite d'Euler, au milieu du segment OH. On a de plus la relation GE = (1/3) GH.
centre de symétrie
On appelle centre de symétrie d'une figure un point O tel que cette figure soit globalement invariante par le demi-tour de centre O. Autrement dit, pour tout point M de la figure, son symétrique M' par rapport à O appartient également à la figure. Une figure admettant un centre de symétrie est dite symétrique par rapport à ce point. Lorsqu'une figure possède plusieurs axes de symétrie, le point d'intersection de ces axes est un centre de symétrie de la figure. Par exemple, un cercle admet son centre comme centre de symétrie, un parallélogramme admet l'intersection de ses diagonales, et un rectangle ou un losange admettent l'intersection de leurs axes de symétrie comme centre de symétrie.
centre de gravité
Le centre de gravité est un point caractéristique associé à un objet géométrique ou à un corps physique, défini comme le point en lequel se concentre, de manière équivalente, l'effet global d'une distribution. En géométrie, le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses trois médianes. Il se situe sur chaque médiane au tiers de sa longueur à partir du côté opposé, ou, de manière équivalente, aux deux tiers de sa longueur à partir du sommet correspondant. Plus généralement, le centre de gravité d'une figure plane ou d'un solide de l'espace correspond à la notion de barycentre des points de la figure, pondérés par un poids uniforme, et peut être calculé comme la moyenne des coordonnées des points constitutifs. En physique, le centre de gravité d'un corps solide est le point d'application de la résultante des forces de pesanteur exercées sur toutes les masses élémentaires du corps. Dans un champ de gravitation uniforme, il coïncide avec le centre de masse. La notion de centre de gravité est fondamentale en statique, en mécanique des solides et en architecture, où elle intervient dans l'étude de l'équilibre des structures.
centre d'une conique
Le centre d'une conique est le point d'intersection de ses deux axes de symétrie. Pour une ellipse, il est équidistant des quatre sommets et constitue le milieu de chaque diamètre. Pour une hyperbole, il est le point fixe par rapport auquel la courbe est symétrique, et se situe à l'intersection des deux axes principaux. Le cercle, cas particulier de l'ellipse où les deux axes sont égaux, possède un centre unique qui est équidistant de tous les points de la courbe. La parabole, quant à elle, n'admet pas de centre au sens propre du terme, son unique axe de symétrie n'ayant pas de perpendiculaire jouant le rôle de second axe ; son centre est conventionnellement rejeté à l'infini. En géométrie projective, le centre d'une conique est défini comme le pôle de la droite à l'infini par rapport à la conique.
Cellérier Charles
Charles Cellérier (1818-1889), mathématicien et physicien suisse, né et mort à Genève, où il consacra l'essentiel de sa carrière à l'enseignement et à la recherche dans diverses branches des mathématiques. Bien que peu connu de son vivant — en raison d'une discrétion qu'il cultivait délibérément — et après sa mort, son oeuvre présente un intérêt historique notable. Il est en particulier reconnu pour avoir construit, indépendamment de Karl Weierstrass et probablement avant lui, un exemple de fonction continue nulle part dérivable, résultat qui resta dans ses papiers inédits jusqu'à sa mort et ne fut publié qu'en 1890 par Charles-Ange Laisant. Cette découverte illustre le type de fonctions pathologiques qui allaient bouleverser les intuitions classiques de l'analyse au XIXe siècle. Il publia un certain nombre d'articles ainsi qu'un cours de mécanique.
Caveing Maurice
Maurice Caveing (né en 1923), historien des mathématiques français, spécialiste des mathématiques de l'Antiquité. Sa démarche historiographique vise à montrer comment, dans des contextes sociaux et culturels déterminés, des hommes ont élaboré des savoirs mathématiques qui ne peuvent être compris indépendamment de ces contextes. Cette approche, qui articule histoire des idées et analyse des conditions historiques de la production intellectuelle, le rapproche du positivisme et d'un humanisme attentif à la dimension humaine de la création scientifique. Sa thèse de 1982, intitulée La constitution du type mathématique de l'idéalité dans la pensée grecque, interroge les conditions dans lesquelles la pensée grecque a élaboré le concept d'objet mathématique idéal. Parmi ses publications majeures figurent Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte anciennes (1994) et Le problème des objets dans la pensée mathématique (2004).
Cayley Arthur
Arthur Cayley (1821-1895), mathématicien britannique, l'une des figures centrales des mathématiques du XIXe siècle. Après une formation à Cambridge, il exerce pendant quatorze ans comme avocat tout en publiant, en parallèle, environ deux cent cinquante articles mathématiques. En 1863, il accepte une chaire de mathématiques pures à Cambridge, moins lucrative que sa carrière juridique, mais qui lui permet de consacrer l'essentiel de son temps aux mathématiques. Il est considéré comme l'un des inventeurs du calcul matriciel et le fondateur de la théorie des matrices en tant que discipline autonome. Dès 1854, il pose les bases de la théorie abstraite des groupes, allant au-delà des seuls groupes de permutations alors connus, et introduit la notion d'espace vectoriel. Ses travaux en géométrie de dimension n, en géométrie non-euclidienne et en géométrie projective ouvrent des perspectives qui orienteront durablement le développement des mathématiques et de la physique. Son nom est attaché à de nombreux objets et résultats : l'algèbre des octonions ou octaves de Cayley, le graphe de Cayley d'un groupe, la surface de Cayley (surface réglée du troisième ordre), le théorème de Cayley selon lequel tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique, et le théorème de Cayley-Hamilton selon lequel toute matrice carrée est racine de son polynôme caractéristique. Membre de la Royal Society depuis 1852, il est l'un des fondateurs de l'école britannique moderne de mathématiques pures.
Cavalieri Bonaventura
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), mathématicien, astronome et prêtre italien, né à Milan. Il étudie la théologie au monastère de San Gerolamo et la géométrie à l'université de Pise, où il se lie avec Galilée, dont il partage la conviction héliocentrique, alors considérée comme hérétique par l'Église. Il entretient avec lui une correspondance abondante, comprenant au moins cent douze lettres. Cavalieri est surtout connu pour deux apports fondamentaux qui préfigurent le calcul intégral. Le premier est la méthode des indivisibles, exposée dans la Geometria indivisibilium continuorum nova quadam ratione promota en 1635 : cette méthode considère les lignes comme composées d'une infinité de points, les surfaces comme formées d'une infinité de lignes, et les solides comme formés d'une infinité de surfaces, permettant de calculer des aires et des volumes sans recourir explicitement aux passages à la limite. Le second est le principe de Cavalieri, déjà énoncé par Liu Hui au IIIe siècle en Chine : deux solides ont des volumes égaux si toute paire de sections transversales parallèles et équidistantes d'un plan de référence a des aires égales. Cavalieri était conscient des paradoxes auxquels sa méthode pouvait conduire ; Torricelli en proposera une version améliorée. Sa méthode constitue une étape décisive vers la géométrie différentielle et le calcul intégral de Newton et Leibniz. Il contribua également à l'étude des sections coniques (1632), à la trigonométrie plane et sphérique à usage astronomique (1635), et apporta des démonstrations rigoureuses des théorèmes attribués à Guldin.
Cavaillès Jean
Jean Cavaillès (1903-1944), mathématicien et philosophe des mathématiques français. Il accomplit de brillantes études de philosophie et est reçu premier à l'agrégation lors de son entrée à l'École normale supérieure en 1923, tout en obtenant parallèlement une licence de mathématiques. Agrégé de philosophie en 1927, il enseigne en lycée avant de préparer une thèse sur les fondements philosophiques des mathématiques, pour laquelle il consulte les archives de Paul du Bois-Reymond et étudie la correspondance entre Richard Dedekind et Georg Cantor. En 1937, il soutient deux thèses simultanément sous la direction de Léon Brunschvicg : Méthode axiomatique et formalisme et Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles. Il enseigne ensuite à l'université de Strasbourg. Pendant l'Occupation, il s'engage dans la Résistance et devient l'une de ses figures les plus actives. Arrêté, il est fusillé en février 1944. Fait Compagnon de la Libération à titre posthume, ses restes sont inhumés dans la chapelle de la Sorbonne. Son oeuvre philosophique, centrée sur les rapports entre logique formelle, théorie des ensembles et philosophie transcendantale, exerça une influence durable sur l'épistémologie des mathématiques en France.
caustique d'un cercle
La caustique d'un cercle est l'enveloppe géométrique des rayons lumineux issus d'une source ponctuelle, après réflexion sur un miroir circulaire. La forme de cette caustique dépend de la position de la source lumineuse par rapport au cercle. Lorsque la source est située sur le cercle lui-même, la caustique est une cardioïde, courbe à un point de rebroussement dont la forme évoque celle d'un coeur. Lorsque la source est rejetée à l'infini — c'est-à-dire lorsque les rayons lumineux arrivent parallèlement — la caustique prend la forme d'une néphroïde, courbe à deux points de rebroussement appartenant à la famille des épicycloïdes. Pour d'autres positions de la source, situées à distance finie mais extérieure au cercle, la caustique prend des formes intermédiaires entre ces deux cas particuliers. La caustique d'un cercle est un exemple classique illustrant le lien entre la géométrie des courbes planes et les phénomènes lumineux.
Caus Salomon de
Salomon de Caus (1576-1626), ingénieur et architecte français, né vraisemblablement à Dieppe dans le pays de Caux. Représentant de l'idéal encyclopédiste de la Renaissance, il se forma à la peinture, aux langues anciennes, à l'ingénierie, à l'architecture et aux mathématiques, avec une prédilection marquée pour la mécanique et les machines. Voyageant à travers plusieurs pays d'Europe, il entra successivement au service de riches personnalités comme architecte, ingénieur, maître de dessin et concepteur de jardins ornementaux, où il réalisait des machines hydrauliques, des fontaines animées de statues allégoriques et divers automates. Il maîtrisait la mécanique, l'hydraulique, la perspective et la musique, et construisait des orgues et des cadrans solaires. En 1612, il publie La Perspective avec la raison des ombres et miroirs. En 1615, ses Raisons des forces mouvantes avec diverses machines tant utiles que plaisantes exposent une théorie relative à l'expansion et à la condensation de la vapeur d'eau, qui fait de lui un précurseur dans l'utilisation pratique de la force motrice de la vapeur. La même année, son Institution harmonique présente un panorama des théories musicales de la Renaissance fondé sur les proportions harmoniques. En 1624, au service de Louis XIII, il publie la Pratique et la démonstration des horloges solaires, ouvrage consacré aux proportions et à la construction des cadrans. Il élabore également un système de nettoyage des rues par pompes à eau. À la fin de sa vie, il travaillait à une traduction de Vitruve, restée inachevée. Au XIXe siècle, une légende apocryphe, née d'une fausse lettre rédigée par Samuel-Henry Berthoud pour illustrer une gravure, fit de lui un inventeur persécuté, enfermé à Bicêtre pour avoir revendiqué l'invention de la machine à vapeur. Cette mystification, que Berthoud lui-même eut du mal à démentir, s'imposa durablement dans l'imaginaire populaire. Il demeure néanmoins reconnu comme l'un des premiers à avoir mis en pratique la force motrice de la vapeur dans une machine hydraulique.
caustique
En optique géométrique, la caustique est l'enveloppe des rayons lumineux issus d'une source lumineuse après réflexion ou réfraction sur une surface ou une courbe. Lorsque la caustique est produite par réflexion, on parle de catacaustique ; lorsqu'elle résulte d'une réfraction, on parle de diacaustique. La source peut être à distance finie, auquel cas on parle de caustique au flambeau, ou à distance infinie, produisant une caustique au soleil. La forme de la caustique dépend à la fois de la géométrie de la surface réfléchissante ou réfringente et de la position de la source lumineuse. Sur une surface circulaire éclairée par un point situé sur le cercle, on obtient une cardioïde ; si la source est à l'infini, la caustique est une néphroïde. D'autres formes sont également possibles selon la configuration : spirale logarithmique, chaînette, entre autres. La notion de caustique fut étudiée par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en 1681, puis approfondie par Jacques Bernoulli et Philippe de La Hire. Elle trouve des applications en optique instrumentale, en acoustique et en physique des ondes.
Cauchy Augustin-Louis
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), mathématicien français, l'une des figures les plus importantes des mathématiques du XIXe siècle. Éduqué dans un milieu monarchiste et religieux, il est très tôt identifié comme un talent exceptionnel par Laplace et Lagrange. Il entre à l'École polytechnique à seize ans en 1805, en sort ingénieur des ponts et chaussées et travaille à Cherbourg jusqu'en 1813, date à laquelle il abandonne définitivement l'ingénierie pour se consacrer exclusivement aux mathématiques. À la Restauration, il devient professeur à l'École polytechnique. Refusant de prêter serment à Louis-Philippe lors de la révolution de 1830, il s'exile à Turin, où il se consacre notamment à l'instruction du jeune Henri, petit-neveu de Charles X. Il rentre en France en 1838 et retrouve un poste à l'École polytechnique. L'apport essentiel de Cauchy aux mathématiques réside dans l'introduction de la rigueur en analyse : il est le premier à formuler avec précision les concepts fondamentaux de limite, de continuité, de dérivée et d'intégrale, et à établir des critères rigoureux de convergence des séries et des suites. Ces travaux, regroupés notamment dans son Cours d'analyse de 1821, constituent le fondement de l'analyse moderne. Des lacunes subsistent toutefois dans sa théorie, notamment sur la convergence uniforme. Par ailleurs, Cauchy est souvent critiqué pour sa négligence envers les travaux de Galois et d'Abel, dont il aurait égaré des manuscrits essentiels. Son oeuvre est d'une ampleur considérable : on lui doit des contributions majeures en analyse complexe, en algèbre, en mécanique et en physique mathématique.
caténoïde
Le caténoïde est la surface de révolution obtenue en faisant tourner une chaînette autour de son axe. Il s'agit de la plus simple des surfaces minimales non planes, c'est-à-dire d'une surface dont la courbure moyenne est nulle en chacun de ses points. Le caténoïde possède la propriété remarquable d'être la surface d'aire minimale dont le bord est constitué de deux cercles parallèles de même rayon, dont les centres sont alignés perpendiculairement aux plans de ces cercles. Cette propriété est mise en évidence par l'expérience des films de savon : en immergeant deux anneaux circulaires coaxiaux dans une solution savonneuse, le film qui se forme entre eux prend la forme d'un caténoïde, à condition que la distance entre les anneaux ne dépasse pas environ 0,66 fois leur diamètre commun ; au-delà de cette limite, le film se rompt. Le caténoïde est paramétrable à l'aide de fonctions hyperboliques et est lié à l'hélicoïde par une déformation isométrique continue. Il fut étudié par Euler dès 1740, dans le cadre de ses travaux fondateurs sur le calcul des variations.
catégorisation
Du point de vue mathématique, la catégorisation désigne l'opération qui consiste à regrouper des objets, des entités ou des situations en classes fondées sur des propriétés communes ou des relations d'équivalence. Elle est ainsi intimement liée à la notion de relation d'équivalence, qui partitionne un ensemble en classes disjointes dont les éléments partagent une propriété donnée. Cependant, dans sa dimension cognitive et linguistique, la catégorisation dépasse largement le cadre formel des mathématiques : elle constitue un mécanisme fondamental de la conceptualisation, permettant à l'individu de réduire la complexité du monde en organisant ses connaissances en catégories structurées. On distingue classiquement trois types d'organisation catégorielle. Les catégories taxonomiques, ou familles, regroupent des éléments qui se ressemblent et partagent des propriétés intrinsèques communes — animaux, végétaux, aliments — et leur organisation présente une relative stabilité inter-individuelle. Les catégories schématiques ou thématiques ne sont pas fondées sur la similarité des éléments, mais sur leur co-occurrence dans une même scène ou un même événement de la vie quotidienne ; elles peuvent aussi rassembler des enchaînements d'actions ou d'événements et leur contenu varie selon les expériences individuelles. Les catégories perceptives, enfin, regroupent les objets selon leurs propriétés physiques observables — taille, forme, couleur — et sont parmi les premières à se développer chez le jeune enfant, qui les mobilise naturellement pour organiser son environnement.