Savoirs
Articles de fond sur les connaissances et théories mathématiques
Pythagore Héron
La formule de Héron se retrouve en cherchant à exprimer l’aire d’un triangle en fonction de ses côtés. Une variation nous restitue le théorème de Pythagore.
PodcastPick, un theoreme inspirant sur l'aire des polygones | Tangente
Certains théorèmes, par la simplicité de leur énoncé et l’originalité de leur démonstration, deviennent des exemples récurrents de créativité mathématique. Il en est ainsi du théorème de Pick.
PodcastLes quadrilatères convexes
Trois côtés déterminent entièrement un triangle, à l’orientation près. Avec quatre côtés, les possibilités de construction d’un polygone sont infinies. Malgré tout, de nombreuses propriétés générales peuvent être établies pour des quadrilatères convexes quelconques.
PodcastLes polygones réguliers
Les polygones réguliers, de par leurs symétries, sont particulièrement harmonieux. À première vue, on serait tenté de penser qu’on en a, depuis longtemps, fait le tour. Un passage par la notion de dualité révèle pourtant bien des surprises.
PodcastQu'est-ce qu'un polygone ? Définition rigoureuse | Tangente
La définition du polygone semble intuitive et évidente. Pourtant, lorsque l’on cherche à cerner plus précisément cet objet mathématique, plusieurs définitions sont possibles, et les plus récentes peuvent heurter le sens commun.
PodcastÀ la conquête des espaces
Les suites ou les fonctions peuvent avoir des limites. Mais le besoin s’est fait sentir de définir tout cela de manière abstraite. L’émergence de la théorie des ensembles et des structures algébriques ont permis de faire apparaître au début du XXe siècle les notions d’espaces métrique, topologique ou normé. En voici la belle histoire.
PodcastStructurer le hasard
Mettre de l’ordre dans l’imprévisible, telle est l’ambition de la notion d’espace de probabilités. En rassemblant dans une structure cohérente les résultats possibles d’une expérience aléatoire et leurs chances d’advenir, on se donne les moyens de faire des probabilités une science exacte.
PodcastLe monde des fonctions
De nombreux problèmes se traitent dans un espace de fonction, notamment tout ce qui concerne l'approximation.
PodcastDes environnements pour le mathématicien
La notion abstraite d’espace en mathématiques recouvre une conception bien différente de ce que nous propose notre intuition. Selon le type de structure dont on dispose, on pourra manipuler des concepts issus de l’algèbre, de l’analyse ou de la géométrie.
PodcastLes curiosités de l’antiparallélisme
En géométrie élémentaire, la notion de proportionnalité fait souvent intervenir des droites parallèles, en référence au théorème de Thalès. Il existe aussi des droites antiparallèles. Y aurait-il alors une « antiproportionnalité » ?
PodcastLes enfants de Thalès
En géométrie élémentaire, de nombreuses démonstrations font appel à la proportionnalité. Presque tous les théorèmes mythiques de la discipline sont concernés : Thalès, Ptolémée, Ménélaüs, Ceva, Pappus… Petit tour de ces grands problèmes.
PodcastDes polygones en entiers
Découvrir qu’une figure aussi simple que le carré ne peut avoir à la fois des côtés et des diagonales de longueurs entières a perturbé plusieurs grands savants de l’Antiquité. Est-il possible de trouver tout de même des polygones vérifiant cette propriété ? Cette question anodine ouvre encore de nouveaux champs de recherche de nos jours.
PodcastRedécouvrir la proportionnalité
Quand on pense proportionnalité, on pense souvent règle de trois, c’est-à-dire à une technique de calcul. Pourtant, cette notion est d’abord apparue en géométrie, avec l’étude des figures semblables à la base de nombreux théorèmes, et où elle a fait émerger l’idée de grandeurs incommensurables.
PodcastLes débuts des groupes : Cauchy et Galois | Tangente
On connaît bien le Cauchy spécialiste de l’analyse, beaucoup moins le Cauchy algébriste. La contribution de Cauchy à la théorie des groupes a été longtemps méconnue, alors même que ses travaux sur les structures algébriques ont eu une grande importance.
PodcastSouffler les polyèdres
Dans ses premiers travaux, Cauchy a revivifié l’étude des polyèdres. Depuis ses résultats sur la rigidité des polyèdres convexes, les mathématiciens cherchent à en savoir davantage sur des cas plus généraux. Avec à la clé une notion nouvelle, celle de flexaèdre, et une propriété fascinante, le théorème du soufflet.
PodcastUne distribution pas comme les autres
Les distributions de probabilité usuelles se révèlent parfois très éloignées des observations. Lorsque des cas extrêmes se produisent trop souvent, la distribution de Cauchy révèle tout son intérêt.
PodcastLe théorème de rigidité : Cauchy et les polyèdres | Tangente
Les premiers résultats de Cauchy concernent les polyèdres, dont l'indispensable théorème de rigidité.
PodcastSubstituer pour compter
À 25 ans à peine, Cauchy perfectionne un mémoire sur les fonctions symétriques finalement publié en deux articles. Il y introduit de nouveaux concepts, notations et méthodes et crée le calcul des substitutions qui jouera un rôle central dans le développement de la théorie des groupes.
PodcastUn homme de controverses : Cauchy et ses rivaux | Tangente
Les querelles sur la paternité des théorèmes sont le reflet de vives controverses qui opposèrent Cauchy à certains mathématiciens de son époque.
PodcastDe la suite dans les idées
Définir ce qu’est une suite convergente a pris beaucoup de temps aux mathématiciens pour éviter les nombreux chausse-trappes logiques. Les travaux de Cauchy sont parmi les plus importants qui ont finalement permis d'y voir clair.