Savoirs
Articles de fond sur les connaissances et théories mathématiques
PodcastEn être, ou pas…
Un nombre dont aucune définition ne fait intervenir, apparemment, un polynôme à coefficients entiers n’a aucune raison d’être algébrique. Mais cela ne constitue pas une preuve de transcendance ! Malgré les nombreux théorèmes sur le sujet, bien des nombres font encore de la résistance.
PodcastQuand l’algèbre rencontre la géométrie
Parmi les nombres réels, certains ont une origine géométrique : ils sont définis à partir de constructions à la règle et au compas. Si l'idée de base semble simple, les propriétés de ces nombres, elles, ne sont pas toujours faciles à établir. L'algèbre s'avère alors indispensable.
PodcastIl est partout !
On retrouve π un peu partout, parfois même dans des domaines fantaisistes. En mathématiques, on le croise bien sûr en géométrie, on le rencontre en analyse, on l’aperçoit en théorie des nombres… Conséquence de cette omniprésence, il apparaît dans toutes les autres sciences !
PodcastL’esprit de corps quadratique
Pourquoi vouloir intégrer toujours plus d’éléments à l’ensemble des nombres connus ? En ajouter un seul aux nombres rationnels pour le composer avec eux permet déjà d’obtenir de nombreux ensembles avec bien des merveilles à dévoiler.
PodcastDe nouveaux nombres avec Richard Dedekind
Parmi les nombres réels, on trouve les rationnels, c’est-à-dire les quotients de deux entiers, et les irrationnels, dont √2 et π sont deux exemples bien connus. Cela permet de classer les réels. Mais une autre classification est possible en caractérisant des nombres dits algébriques.
PodcastA la recherche du nombre univers : Champernowne et Borel | Tangente
Quelquefois, une notion relativement simple à définir nous entraîne dans un monde que l’on n’ose imaginer et où notre bon sens peine à se retrouver. C’est le cas avec les nombres univers, qui restent aujourd’hui aussi insaisissables que fascinants.
PodcastPI, un nombre qui dépasse la raison
π étant par définition le rapport entre le périmètre du cercle et son diamètre, il serait commode que ce soit une fraction rationnelle, c’est-à-dire le quotient de deux nombres entiers. Malheureusement, ce n’est pas vrai ! Pire, diront certains, il est même transcendant…
PodcastLes tables hongroises : article de maths | Tangente
Les épreuves combinées en athlétisme, tel le décathlon, nécessitent de pouvoir comparer les résultats dans des disciplines différentes. Des tables de cotation ont donc été établies en se basant sur des données statistiques, régulièrement mises à jour pour tenir compte du développement physique du genre humain.
PodcastMa thèse dans Tangente
Il est possible d’associer des formes géométriques à différents morceaux de musique afin d’en élucider la structure. Pour cela, on peut définir une distance entre des évènements musicaux basée sur la transformée de Fourier discrète appliquée aux mesures d’une partition.
PodcastBillard et problèmes aqueux
Une des facettes de la créativité mathématique est de représenter des problèmes sous une forme originale qui en permette une résolution simple. Une équation diophantienne élémentaire peut ainsi être résolue par l’étude de trajectoires sur un billard, qui devient par là même un outil efficace.
PodcastUn exemple historique avec Fermat : article de m… | Tangente
Par ses notes marginales de l’édition par Bachet des livres arithmétiques de Diophante et par sa correspondance, le mathématicien Pierre de Fermat stimule la science des nombres entiers, avec des résultats et des méthodes nouvelles. Il est à la fois passeur et impulseur.
PodcastRavissements géométriques autour de la formule d’Euler
Une relation fondamentale en mathématiques, la formule d’Euler, est l’occasion d’une exploration des propriétés des objets de la troisième dimension, mais également des dimensions supérieures. On rencontrera au cours de ce voyage un classique de la recherche opérationnelle : l’algorithme du simplexe.
PodcastAu service des courbes
Par la magie de la géométrie analytique, les propriétés d'une formule algébrique se traduisent visuellement sur des courbes associées. Dans ce va-et-vient constant, les développements limités jouent un rôle absolument prépondérant.
PodcastLa genèse des expansions de fonctions
Les premières expansions de fonctions en séries entières ont été concomitantes du développement du calcul différentiel et intégral à la fin du XVIIe siècle. En les tronquant, on obtenait en fait des développements limités !
PodcastLes équivalents, un outil pour le calcul des limites
Pourquoi se fatiguer à calculer des équivalents à des fonctions d’apparence « sympathique » ? Pour comprendre finement un comportement local ou asymptotique, et aussi pour les applications ! Sans ces techniques, même les tableurs seraient impuissants à réaliser des calculs d’apparence anodine.
PodcastLe peuple des rationnels
Petite histoire imaginaire et non chronologique pour tenter de répondre à une question moins simple qu’il n’y paraît : les fractions sont-elles des nombres ?
Podcast« Galérons » dans la division | Tangente
« Élémentaires », les quatre opérations arithmétiques que l’on apprend tous à poser consciencieusement dans nos cahiers d’écoliers ? Les méthodes d’addition, de soustraction, de multiplication et de division n’ont pas toujours été présentées comme aujourd’hui dans nos pays occidentaux !
PodcastLe neuvième nombre de Dedekind
Il existe des suites numériques bien connues dont on peut calculer des milliers de termes, voire plus, sans aucune difficulté. Et il en est d’autres qui résistent davantage. En voici une dont les mathématiciens viennent seulement de calculer le neuvième terme !
PodcastGénéalogie des fractions
Une très belle construction due à Calkin et Wilf, déjà pressentie un siècle plus tôt, permet de lister toutes les fractions d'une manière à la fois élégante et profonde. Dans cette construction, chaque fraction donne naissance à deux nouvelles, en partant de la fraction 1 / 1.
PodcastFractions de fractions sans frein
Une façon toute simple de construire une suite de fractions peut déboucher sur des outils étonnamment profonds. En voici une illustration conduisant à la fameuse suite de Prouhet-Thue-Morse aux multiples applications.