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Una construcción vanguardista
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Mucho antes del nacimiento de Benoît Mandelbrot, Georg Cantor describió en 1883 el primer conjunto fractal, unos veinte años antes de que von Koch introdujera su famoso copo de nieve. Su construcción es característica de los fractales, aunque su resultado estético es prácticamente nulo, pues se trata de un conjunto contenido en una recta. Partimos del segmento C0 = \[0, 1\]. Le quitamos el intervalo abierto central, cuya longitud es un tercio de la de C0, es decir, \]1/3, 2/3\[. Obtenemos C1 = \[0, 1/3\] \[2/3, 1\]. Repetimos el proceso en cada uno de los dos segmentos que forman C1. Obtenemos C2, que es la unión de cuatro segmentos de longitud 1/9: \[0, 1/9\], \[2/9, 3/9\], \[6/9, 7/9\] y \[8/9, 9/9\]. Continuamos así hasta obtener Cn, que es la unión de 2n segmentos disjuntos de longitud 1/3n, cuya longitud total ln es (2/3)n. El conjunto ternario de Cantor C se obtiene en el límite, como intersección de todos los Cn. También recibe el nombre de polvo de Cantor por su aspecto.
La longitud de Cn tiende a 0: en el límite, la longitud de C es nula. Del mismo modo, C no puede contener ningún intervalo abierto, por pequeño que sea: tiene interior vacío. Por último, una sucesión convergente de elementos de C tiene su límite en C: el conjunto ternario de Cantor es cerrado.
