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Una costruzione d’avanguardia
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Ben prima della nascita di Benoît Mandelbrot, Georg Cantor descrisse nel 1883 il primo insieme frattale, circa vent’anni prima che von Koch introducesse il suo celebre fiocco di neve. La sua costruzione è tipica dei frattali, anche se il risultato estetico è pressoché nullo, poiché questo insieme è lineare. Si parte dal segmento C0 = \[0, 1\]. Se ne elimina l’intervallo aperto centrale, la cui lunghezza è un terzo di quella di C0, ossia \]1/3, 2/3\[. Si ottiene C1 = \[0, 1/3\] \[2/3, 1\]. Si ripete l’operazione su ciascuno dei due segmenti che compongono C1. Si ottiene C2, unione di quattro segmenti di lunghezza 1/9: \[0, 1/9\], \[2/9, 3/9\], \[6/9, 7/9\] e \[8/9, 9/9\]. Si prosegue così fino a ottenere Cn, che è l’unione di 2n segmenti disgiunti di lunghezza 1/3n, la cui lunghezza totale ln è (2/3)n. L’insieme ternario di Cantor C si ottiene al limite, come intersezione di tutti i Cn. Per il suo aspetto è detto anche polvere di Cantor.
La lunghezza di Cn tende a 0: al limite, la lunghezza di C è nulla. Allo stesso modo, C non può contenere alcun intervallo aperto, per quanto piccolo: ha interno vuoto. Infine, una successione convergente di elementi di C ha il proprio limite in C: l’insieme ternario di Cantor è chiuso.
