«¿Para qué sirven las matemáticas?» «¡Las matemáticas son demasiado abstractas!» «¿Qué es una función?» Son preguntas que el profesorado oye a menudo… ¡y con razón! Por eso, poner de manifiesto los vínculos entre lo que los alumnos estudian en el instituto y el mundo que los rodea puede ayudarles a comprender mejor las matemáticas. La calculadora Graph 90+E cuenta con un menú (Plot Image) diseñado para ayudar a los alumnos a establecer ese vínculo.
Comprender una trayectoria -------------------------------
El interés del menú Plot Image consiste en poder situar sobre una imagen puntos que permitan poner de relieve curvas y formas geométricas para estudiarlas. También es posible trabajar con imágenes animadas o películas. Para ello, dividiremos la secuencia cinematográfica estudiada en tantas imágenes como puntos haya que situar. Cada vez que coloquemos un punto, se pasará a la imagen siguiente. Así es posible seguir, entre otros fenómenos, la trayectoria de un objeto.
Fijémonos en la célebre escena del globo de la película satírica le Dictateur de Charlie Chaplin (Charles Chaplin Productions, 1940), todo un clásico del séptimo arte. Esta escena ha sido analizada en numerosas ocasiones, pero aquí la abordaremos desde una perspectiva muy distinta: estudiaremos la trayectoria del globo mientras el dictador juega con él. La escena se ha dividido previamente en diez imágenes, que después pueden transferirse a la calculadora mediante un simple cable USB. Puede descargar este archivo y encontrar más información sobre esta actividad en el sitio web casio-education.fr, en la sección « La Pédagogie ». Título del recurso: « Le polynôme de Charlie Chaplin », descargable gratuitamente.
El problema del sistema de referencia -----------------------
Para modelizar la trayectoria del globo, situemos puntos en cada una de sus posiciones. Empecemos por observar las distintas imágenes:
Observamos que cambia el encuadre de la cámara: en la primera imagen, la estatua está completamente a la izquierda, pero en la segunda no se encuentra exactamente en el mismo lugar. Para resolver este problema, habrá que situar el origen del sistema de referencia en el centro de la cabeza de la estatua en cada imagen.
Construcción de los puntos
Situamos los puntos correspondientes a la posición del globo en cada una de las imágenes. Para ganar precisión, tomamos siempre el polo sur del globo. Obtenemos la siguiente imagen.
Interpolación mediante un polinomio de segundo grado -------------------------------------------------
La trayectoria tiene forma de parábola. Para ajustar la parábola a los puntos, representemos gráficamente el polinomio P(x) = a(x – k)2 + h y variemos los parámetros a, k y h para que se ajuste lo mejor posible a ellos. Esto permitirá apreciar la relación entre los parámetros de la forma canónica de un polinomio de segundo grado, las coordenadas del vértice de la parábola y las variaciones de la función. Por ejemplo, al elegir respectivamente los parámetros 1, 2,9 y 1,6, obtenemos P(x) = –(x – 2,9)2 + 1,6, o también P(x) = –x2 + 5,8 x – 6,81. Esta elección conduce a la figura siguiente (parábola en azul), que no resulta muy satisfactoria.
Regresión ----------
Comprobemos ahora nuestro resultado con la regresión cuadrática de la calculadora:Observamos que nos ha faltado precisión durante la fase de aproximación «manual», pero que ni siquiera la regresión cuadrática de la calculadora resulta muy satisfactoria. Construyamos ahora una regresión de grado 3 (en azul en la captura de pantalla siguiente).
Se observa que esta curva es mucho más satisfactoria. También puede ser una buena forma de introducir el concepto de regresión y de comprobar experimentalmente que, cuanto mayor es el grado del polinomio, más precisa es la aproximación. Además, pueden probarse otros tipos de regresión: ello abre las puertas a la experimentación…