«A cosa servono la matematica?» «La matematica è troppo astratta!» «Che cos’è una funzione?» Sono domande che gli insegnanti sentono spesso… e che sono pertinenti! Per questo mettere in evidenza i legami tra ciò che gli studenti studiano al liceo e il mondo che li circonda può aiutarli a comprendere meglio la matematica. La calcolatrice Graph 90+E dispone di un menu (Plot Image), creato per aiutare gli studenti a stabilire questo legame.
Comprendere una traiettoria -------------------------------
Il menu Plot Image permette di collocare su un’immagine punti che mettono in evidenza curve e forme geometriche, così da poterle studiare. Si può anche lavorare su immagini animate o filmati. A questo scopo, la sequenza cinematografica studiata viene suddivisa in un numero di immagini pari al numero di punti da collocare. Ogni volta che si colloca un punto, si passa all’immagine successiva. In questo modo è possibile seguire, fra gli altri fenomeni, la traiettoria di un oggetto.
Soffermiamoci sulla celebre scena del globo del film satirico Il grande dittatore di Charlie Chaplin (Charles Chaplin Productions, 1940), un classico della settima arte se mai ce n’è stato uno. Questa scena è stata analizzata molte volte, ma qui sarà osservata da tutt’altra prospettiva: studieremo la traiettoria del globo mentre il dittatore ci gioca. La scena è stata in precedenza suddivisa in dieci immagini, che si possono poi trasferire alla calcolatrice con un semplice cavo USB. Potete scaricare questo file e trovare maggiori informazioni sull’attività sul sito casio-education.fr, nella sezione « La Pédagogie ». Titolo della risorsa: « Le polynôme de Charlie Chaplin », scaricabile gratuitamente.
Il problema del sistema di riferimento -----------------------
Per modellizzare la traiettoria del globo, segniamo un punto per ciascuna posizione del globo. Cominciamo osservando le diverse immagini:
Si nota che l’inquadratura cambia: nella prima immagine la statua è completamente a sinistra, mentre nella seconda non si trova esattamente nello stesso punto. Per ovviare a questo problema, occorrerà collocare l’origine del sistema di riferimento al centro della testa della statua in ogni immagine.
Costruzione dei punti
Collochiamo i punti corrispondenti alla posizione del globo in ciascuna immagine. Per una maggiore precisione, prendiamo sempre il polo Sud del globo. Otteniamo l’immagine qui sotto.
Interpolazione mediante un polinomio di secondo grado -------------------------------------------------
La traiettoria somiglia a una parabola. Si tratta quindi di costruire il grafico della funzione polinomiale P(x) = a(x – k)2 + h e di far variare i parametri a, k e h affinché la parabola si avvicini il più possibile ai punti. Questo permetterà di vedere il legame tra i parametri della forma canonica di un polinomio di secondo grado, le coordinate del vertice della parabola e le variazioni della funzione. Per esempio, scegliendo rispettivamente i parametri 1, 2,9 e 1,6, si ottiene P(x) = –(x – 2,9)2 + 1,6, ossia P(x) = –x2 + 5,8 x – 6,81. Questa scelta porta alla figura qui sotto (parabola in blu), che non è molto soddisfacente.
Regressione ----------
Verifichiamo ora il nostro risultato con la regressione quadratica della calcolatrice: osserviamo che nella fase di approssimazione «manuale» siamo stati poco precisi, ma nemmeno la regressione quadratica della calcolatrice è molto soddisfacente. Costruiamo ora una regressione di grado 3 (in blu nella schermata qui sotto).
Si osserva che questa curva è molto più soddisfacente. Può anche essere un buon modo per introdurre le regressioni e per osservare sperimentalmente che, quanto maggiore è il grado del polinomio, tanto più precisa è l’approssimazione. Si potrebbero del resto sperimentare anche altri tipi di regressione: le porte della sperimentazione sono spalancate…