Sin embargo, a finales del siglo anterior se demostraron numerosos resultados al margen de todo formalismo: es el caso del teorema espectral, que afirma que toda matriz simétrica es diagonalizable en una base ortonormal.
A mediados del 18.º siglo, d’Alembert y, después de él, Euler se interesaron por el movimiento de un sólido. La búsqueda de ejes de rotación condujo, de hecho, a la de valores y vectores propios. Más tarde, Euler y luego Lagrange estudiaron problemas análogos para demostrar la estabilidad del Sistema Solar. Laplace retomó este trabajo y mejoró el método de Lagrange utilizando la simetría de los coeficientes.
En 1826, Cauchy estudió el problema de forma puramente matemática y demostró el resultado en el caso en que los valores propios son todos distintos; Weierstrass obtendría el caso general en 1858.
Laplace y los determinantes ---------------------------
Al tratar de resolver sistemas de ecuaciones lineales, el matemático escocés Colin MacLaurin (1698‒1746) introdujo los determinantes (hacia 1729, aunque su trabajo no se publicó póstumamente hasta 1748, en su Treatise of Algebra). En 1750, el matemático suizo Gabriel Cramer (1704‒1752) buscó determinar los coeficientes de una cónica que pasara por cinco puntos. En su obra Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, publicada en 1750, dio la definición actual del determinante.