Eppure, alla fine del secolo precedente, furono dimostrati numerosi risultati al di fuori di qualsiasi formalismo: è il caso del teorema spettrale, secondo cui ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile rispetto a una base ortonormale.
A metà del 18º secolo, d’Alembert e, dopo di lui, Eulero si interessarono al moto di un solido. La ricerca degli assi di rotazione condusse infatti a quella degli autovalori e degli autovettori. In seguito Eulero, poi Lagrange, studiarono problemi analoghi per dimostrare la stabilità del Sistema solare. Laplace riprese questo lavoro e migliorò il metodo di Lagrange sfruttando la simmetria dei coefficienti.
Nel 1826 Cauchy studiò il problema in modo puramente matematico e ne diede una soluzione nel caso in cui gli autovalori fossero tutti distinti; Weierstrass ottenne il caso generale nel 1858.
Laplace e i determinanti ---------------------------
Fu cercando di risolvere sistemi di equazioni lineari che il matematico scozzese Colin MacLaurin (1698‒1746) introdusse i determinanti (verso il 1729, benché il suo lavoro fosse pubblicato postumo solo nel 1748, nel suo Treatise of Algebra). Nel 1750 il matematico svizzero Gabriel Cramer (1704‒1752) cercò di determinare i coefficienti di una conica passante per cinque punti. Nella sua opera Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, pubblicata nel 1750, fornì l’attuale definizione di determinante.