Les quarante trois auteurs ayant participé au concours de création de problème (on n’avait le droit de proposer qu’un seul problème) ont fait preuve d’une grande inventivité. Les membres du jury ont beaucoup hésité, mais il fallait faire un choix ! C’est souvent en s’appuyant sur la forme et sur la clarté de la solution qu’ils ont trouvé un consensus, mais certains avaient eu un « coup de cœur » pour un problème non retenu. Cet article est l’occasion de mettre en avant quelques-uns d’entre eux. Vous trouverez les solutions, parfois améliorées par les membres du jury, en cliquant sur la question posée.
Pierre-Jean Laurent a choisi « un petit problème de modélisation intéressant, qui demande une interprétation correcte de l’énoncé. Tout est clair aussi bien l’énoncé que la solution, courte mais parfaite. Je le recommande donc ».
Voici donc cet énoncé de Pierre Lemaire.
Promenade sur la plage
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En face du poste de secours, il y a une bouée, prétexte à mon exercice aussi quotidien que régulier. Je pars toujours du point A, situé à exactement 1 km du poste de secours P. Je marche un moment le long de l’eau, toujours à 3 km/h, puis je nage jusqu’à la bouée B, toujours à 2 km/h. J’ai remarqué que c’est lorsque je rentre dans l’eau à 100 m du poste de secours que la durée totale de mon exercice est la plus courte.
Élisabeth Busser a choisi un énoncé d’arithmétique « qui tient en peu de mots, et qu’on peut résoudre sans trop de complications ni de calculs ». Elle a d’ailleurs raccourci la solution d’Arnaud de Ferry, ingénieur retraité passionné de mathématiques, qui a imaginé ce problème en partant des nombres de Kaprekar. En voici l’énoncé.
Quel est mon âge ?
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Ma femme a trois ans de plus que moi. Je nous crois encore jeunes ! Pourtant, si j’ajoute le carré de son âge au carré du mien, j’obtiens un nombre à quatre chiffres dont la somme des chiffres est 8.
Philippe Fondanaiche, animateur du site **diophante.fr*, a choisi « un exercice classique de logique qui demande de mener à bien un raisonnement déductif ». La raison de son choix ? Il considère comme fondamentale cette méthode de résolution et s’inquiète de la voir de plus en plus occultée dans les lycées et collèges. Il s’indigne de voir l’apprentissage des mathématiques limité à l’application « les yeux fermés »* de recettes toutes faites ou à l’utilisation de formules sans comprendre leur contenu, une approche qu’il juge de plus en plus en vogue dans l’enseignement.
Voici donc l’énoncé de son coup de cœur, dû à Marie-Pierre Falissard, une des rares femmes à avoir participé au concours de création.
Des amis très particuliers
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Mes huit amis logiciens se connaissent bien. Certains mentent tout le temps, les autres jamais. Ils me disent un jour :
Abel : « Je n’aime pas Boole et Frege ment ! »
Boole : « Abel est mon meilleur ami. »
Cantor : « J’ai déménagé et Boole ment ! »
Dedekind : « Tu es mon meilleur ami et Cantor a changé de domicile. »
Erdös : « Dedekind te déteste ! »
Frege : « Erdös ne ment pas. »
Gödel : « Je ne mens pas, mais Frege et Hardy mentent. »
Hardy : « La moitié de tes amis mentent, l’autre moitié non. »
Quant à Raymond Bloch, il a choisi de sélectionner, mais aussi développer (voir encadré) un problème proposé par Thierry Falissard, ingénieur ENPC et passionné d’échecs et de mathématiques. Le problème est, évidemment, lié au placement de pièces d’échecs sur un échiquier. Raymond Bloch : « La recherche de solutions de cette grande famille de problèmes permet des investigations et des découvertes demandant ingénuité, ténacité et rigueur, mais aucune formule mathématique… Elle nous enseigne aussi la prudence nécessaire en face d’une preuve qui semble indestructible, et qui se révèle fausse. J’espère que les lecteurs de Tangente partageront cette énigme avec leurs parents et amis, afin de les convaincre du plaisir que procurent la recherche, et parfois la découverte d’une solution en apparence impossible. Et bravo à l’auteur de cet énoncé. »
Les dames en prise
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Aux échecs, la dame (D) se déplace verticalement, horizontalement et diagonalement, sur un nombre quelconque de cases (voir figure). Elle peut capturer une pièce adverse située sur une case qu’elle contrôle, en prenant sa place.
