adhérence - topologie -

Plaçons des points aux positions 1, 1/2, 1/3, 1/4, et ainsi de suite sur une droite. Ils se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre. Pourtant, chaque intervalle autour de 0 rencontre l'un de ces points. Le point 0 appartient donc à l'adhérence de leur ensemble.

L'adhérence rassemble ainsi les points déjà présents et tous ceux que l'ensemble approche d'aussi près que l'on veut. Elle ne dépend pas d'une distance dans le cadre général : ce sont les voisinages de l'espace qui décident.

Soit A une partie d'un espace topologique X. L'adhérence de A, notée Ā ou cl(A), est l'ensemble des points x de X dont tout voisinage rencontre A. En notant 𝒱(x) la famille des voisinages de x, cette définition s'écrit :

Chaque point de A est adhérent à A, car tout voisinage de ce point contient le point lui-même. Un point adhérent est un point d'accumulation si chaque voisinage contient un point de A distinct de lui. Sinon, il appartient à A et possède un voisinage ne contenant aucun autre point de A : c'est un point isolé de A. L'adhérence est aussi le plus petit ensemble fermé contenant A, ou, de manière équivalente, l'intersection de tous les fermés qui contiennent A. En particulier, A est fermé exactement lorsque cl(A) = A. Ces caractérisations valent dans tout espace topologique.

Dans la droite réelle usuelle, considérons l'ensemble A formé de 0 et des nombres 1/n.
Données : A = {0} ∪ {1/n : n ≥ 1} ; les points 0, 1/3 et 3/4.

1. Pour tout nombre ε strictement positif, choisissons un entier n > 1/ε. Alors 0 < 1/n < ε. Tout intervalle de rayon ε centré en 0 contient donc un point de A distinct de 0 : ce dernier est un point d'accumulation.

2. L'intervalle ouvert V = (7/24, 3/8) contient 1/3, mais ni 1/4 ni 1/2. Les autres termes sont encore plus éloignés. Ainsi, V ∩ A = {1/3} : ce point est isolé, mais adhérent puisqu'il appartient à A.

3. L'intervalle ouvert W = (2/3, 5/6), centré en 3/4, ne rencontre pas A. Ainsi, 3/4 n'est pas adhérent.

4. Tout réel positif hors de A se sépare des termes 1/n voisins par un petit intervalle. Un réel négatif possède aussi un intervalle disjoint de A. Aucun autre point n'est adhérent.

Le résultat est cl(A) = A. Le contrôle oppose W, voisinage de 3/4 disjoint de A, aux intervalles autour de 0, qui contiennent toujours des termes 1/n. La figure rend visibles ces tests.

Pour vérifier qu'un ensemble est fermé, on cherche tous ses points adhérents. L'égalité cl(A) = A donne le verdict. Si un point adhérent manque à A, il faut ajouter ce point ou renoncer à qualifier A de fermé.

Pour tester si A est dense dans X, on vérifie si tout voisinage de tout point de X rencontre A, c'est-à-dire si cl(A) = X. Si la question porte plutôt sur les points entourés entièrement par A, l'intérieur de A est la notion adaptée.

Dans un espace métrique, un point adhérent peut être approché par des points de A à des distances arbitrairement petites. Ce test par la distance remplace avantageusement l'examen de tous les voisinages. Dans un espace topologique général, le critère des voisinages reste la référence.

Adhérence et ensemble des points d'accumulation. L'adhérence contient toujours A, y compris ses points isolés. L'ensemble des points d'accumulation peut les exclure. Dans A = {0} ∪ {1/n : n ≥ 1}, le point 1/3 appartient à cl(A), mais n'est pas un point d'accumulation.

Adhérence et intérieur. Pour l'adhérence, chaque voisinage doit seulement rencontrer A. Pour l'intérieur, un voisinage entier doit être contenu dans A. Dans la droite réelle, l'adhérence de l'intervalle ouvert (0, 1) est [0, 1], tandis que son intérieur reste (0, 1).

La topologie change le résultat. L'adhérence ne dépend pas du seul ensemble A, mais aussi des voisinages choisis sur X. Avant tout calcul, il faut donc identifier la topologie de l'espace ; une intuition fondée sur les distances peut sinon donner un résultat faux.

Une suite ne suffit pas toujours. Dans un espace métrique, x appartient à cl(A) si une suite de points de A converge vers x. Cette équivalence peut échouer dans un espace topologique général. Le test valable sans hypothèse supplémentaire reste : tout voisinage de x rencontre A.

Un point isolé n'est pas exclu. Le symptôme trompeur est l'absence de points voisins de A autour de x. Si x appartient lui-même à A, chaque voisinage rencontre encore A en x : il est adhérent. Il faut tester séparément la présence de x et celle d'autres points de A.

Les cas extrêmes restent cohérents. L'adhérence de l'ensemble vide est vide, et celle de l'espace entier X est X. Ces deux cas ne nécessitent aucun point frontière ajouté ; ils découlent directement du critère des voisinages.

Voisinage — Précise l'outil local qui sert à reconnaître un point adhérent sans supposer l'existence d'une distance.

Point d'accumulation — Approfondit le cas où chaque voisinage rencontre A en un point distinct du point étudié.