Axe transverse
L'axe transverse d'une hyperbole est le segment reliant les deux sommets de l'hyperbole, c'est-à-dire les deux points de la courbe situés sur l'axe focal. Si l'hyperbole a pour équation réduite x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, l'axe transverse relie les points (-a, 0) et (a, 0), et sa longueur est 2a. L'axe transverse est à distinguer de l'axe conjugué, qui est perpendiculaire à l'axe transverse et de longueur 2b. Ces deux axes déterminent entièrement la forme de l'hyperbole.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer le segment qui joint les sommets d'une hyperbole.
- Calculer sa longueur 2a à partir d'une équation réduite.
- Le distinguer de l'axe conjugué et reconnaître les conventions de vocabulaire.
En clair
Imaginez les deux branches d'une hyperbole face à face. Chacune possède un point qui s'approche le plus du centre : ce sont les deux sommets. Le segment droit qui joint ces sommets est l'axe transverse.
Sa direction indique le sens d'ouverture des branches, et sa longueur mesure l'écart entre les sommets. Dans l'exemple de la fiche, ils sont placés à 3 unités de part et d'autre du centre : l'axe transverse mesure donc 6 unités.
Définition
Pour une hyperbole centrée à l'origine et ouverte vers la gauche et la droite, l'axe transverse est le segment de l'axe focal compris entre les deux sommets. Le nombre positif a désigne la distance du centre à chacun des sommets. Le nombre positif b fixe de la même manière le demi-axe conjugué, perpendiculaire au premier.
Avec ces notations, l'équation réduite est . Les sommets ont pour coordonnées (−a, 0) et (a, 0), si bien que la longueur de l'axe transverse vaut exactement 2a. L'axe conjugué relie, dans la construction associée, les points (0, −b) et (0, b) et mesure 2b.
Les deux segments donnent les directions perpendiculaires et les deux longueurs qui fixent la forme de cette hyperbole dans ce repère. L'emplacement du centre et l'orientation du repère restent toutefois nécessaires pour situer la courbe dans le plan.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'hyperbole dont l'équation réduite est . Les données sont le centre O de coordonnées (0, 0), le nombre positif a tel que a2 = 9, et le nombre positif b tel que b2 = 4.
1. Comme a est positif, a = 3.
2. Les sommets sont donc A(−3, 0) et B(3, 0).
3. La distance AB vaut 3 − (−3) = 6 : l'axe transverse mesure 6 unités.
4. Comme b est positif, b = 2. L'axe conjugué mesure alors 2b = 4 unités.
2. Les sommets sont donc A(−3, 0) et B(3, 0).
3. La distance AB vaut 3 − (−3) = 6 : l'axe transverse mesure 6 unités.
4. Comme b est positif, b = 2. L'axe conjugué mesure alors 2b = 4 unités.
Le contrôle se refait directement dans l'équation : pour x = 3 et y = 0, le membre de gauche vaut 9/9 − 0/4 = 1. Le même calcul fonctionne pour x = −3. Les deux extrémités du segment appartiennent donc bien à l'hyperbole. La figure rend visibles ces deux sommets et le segment qui les joint.
En pratique
Dans une équation déjà sous la forme réduite , on lit a2 sous le terme positif en x. La racine positive donne a, puis 2a donne la distance entre les sommets.
Sur un tracé, on repère d'abord le centre, puis les deux points des branches les plus proches de ce centre. Le segment qui les relie donne à la fois l'axe transverse et le sens d'ouverture de l'hyperbole.
Si l'équation n'est pas encore réduite, la simple lecture des dénominateurs ne suffit pas. Il faut d'abord la ramener à une forme centrée et normalisée, puis identifier le terme positif.
À ne pas confondre
L'axe transverse joint les deux sommets de l'hyperbole et porte l'ouverture de ses branches. L'axe conjugué lui est perpendiculaire et mesure 2b dans l'équation réduite. Dans l'exemple , le segment horizontal de longueur 6 est transverse, tandis que le segment vertical de longueur 4 est conjugué. Le critère décisif n'est donc pas de choisir le segment le plus long, mais celui qui relie les sommets de la courbe.
Limites et pièges
Le calcul 2a s'applique lorsque l'équation est bien sous la forme réduite , avec a strictement positif. Si l'équation est écrite autrement, lire directement un coefficient comme a peut donner une longueur fausse ; il faut d'abord normaliser l'équation.
Le vocabulaire varie selon les ouvrages : « axe transverse » peut désigner le segment entre les sommets, la droite qui le porte ou, dans une mesure, sa longueur. Il faut regarder si le contexte parle d'un ensemble de points ou d'un nombre. Ici, le segment est [AB] et sa longueur est AB = 6.
Enfin, les longueurs 2a et 2b déterminent la forme dans le repère réduit, mais elles ne donnent pas seules la position d'une hyperbole déplacée ni son orientation. Il faut aussi connaître son centre et la direction de ses axes.
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