coordonnées sphériques
Système de coordonnées de l'espace défini à partir d'un repère orthonormé (O, i, j, k). Pour M différent de O, un point M est repéré par trois coordonnées : r, la distance OM ; θ (thêta), l'angle entre le vecteur OM et l'axe Oz, appelé colatitude ou angle polaire ; et φ (phi), l'angle mesuré dans le sens positif de Ox vers Oy, entre l'axe Ox et la projection m de M sur le plan (O, i, j), appelé longitude ou angle azimutal. À l'origine, les angles θ et φ ne sont pas déterminés. Les relations de conversion vers les coordonnées cartésiennes sont : x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Ce système est très utilisé en physique pour les problèmes présentant une symétrie sphérique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le rayon, l’angle polaire et l’angle azimutal.
- Convertir un triplet sphérique en coordonnées cartésiennes sur un exemple exact.
- Reconnaître les ambiguïtés à l’origine, sur l’axe Oz et entre conventions.
En clair
Imaginez un point suspendu dans une pièce et une origine O. Pour le retrouver, on mesure d’abord sa distance à O. On indique ensuite l’inclinaison du rayon qui le rejoint, puis la direction dans laquelle ce rayon tourne autour de l’axe vertical. Ces trois indications sont les coordonnées sphériques : le rayon r, l’angle polaire θ et l’angle azimutal φ. Une distance et deux angles remplacent ainsi les trois déplacements perpendiculaires x, y et z.
Définition
Dans un repère orthonormé d’origine O et d’axes Ox, Oy et Oz, les coordonnées sphériques d’un point M sont un triplet (r, θ, φ). Le rayon r est la distance OM et vérifie r ≥ 0. Pour M ≠ O, l’angle polaire θ, aussi appelé colatitude, est l’angle entre le vecteur OM et l’axe Oz. L’angle azimutal φ, aussi appelé longitude dans ce contexte, est mesuré dans le sens positif de Ox vers Oy, depuis Ox jusqu’à la projection de OM sur le plan Oxy ; il n’est pas déterminé lorsque M appartient à l’axe Oz. À l’origine, θ et φ ne sont pas déterminés.
Avec la convention usuelle 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ φ < 2π, les coordonnées cartésiennes x, y et z s’obtiennent par les relations suivantes : . La figure prend le point M de rayon 2, d’angle polaire 60° et d’azimut 30° pour rendre visibles ces trois données.
Réciproquement, hors de l’origine, le rayon vaut , l’angle polaire peut être obtenu par , et l’azimut doit être choisi dans le bon quadrant à partir de x et y. Ce repérage convient particulièrement aux situations où une rotation autour de O ne change pas le problème.
Un exemple, pas à pas
On cherche les coordonnées cartésiennes du point M représenté par le triplet sphérique (r, θ, φ) = (2, 60°, 30°). Les données sont donc le rayon r = 2, l’angle polaire θ = 60° et l’angle azimutal φ = 30°.
1. Pour l’abscisse, .
2. Pour l’ordonnée, .
3. Pour la hauteur, .
2. Pour l’ordonnée, .
3. Pour la hauteur, .
Le point a donc pour coordonnées cartésiennes . Ses trois coordonnées sont positives : M se trouve du côté positif de chacun des axes. Le contrôle consiste à retrouver le carré du rayon : . Les trois calculs sont ainsi compatibles avec la distance OM = 2.
En pratique
Pour décrire tous les points situés à une même distance d’un centre, on fixe le rayon r et on laisse varier les deux angles. Des coordonnées cartésiennes seraient moins directes, car il faudrait alors imposer la relation x² + y² + z² = r².
En physique, on choisit ce repérage lorsqu’un problème présente une symétrie sphérique : la distance au centre joue alors un rôle privilégié. Si la situation distingue plutôt trois directions perpendiculaires, les coordonnées cartésiennes restent généralement plus lisibles.
Pour convertir un point, on commence par identifier la convention des angles. On applique ensuite les trois relations donnant x, y et z, puis on contrôle que x² + y² + z² retrouve bien r².
À ne pas confondre
Coordonnées sphériques et coordonnées cylindriques. Les premières emploient une distance à l’origine et deux angles. Les secondes emploient une distance à l’axe, un angle autour de cet axe et une hauteur. Un point qui monte parallèlement à Oz garde sa distance à l’axe en coordonnées cylindriques, mais sa distance à O varie généralement en coordonnées sphériques.
Colatitude et latitude. Ici, θ est mesuré depuis l’axe Oz : c’est une colatitude. Une latitude est mesurée depuis le plan équatorial. Sur l’équateur, la latitude vaut 0° tandis que la colatitude vaut 90°.
Angle polaire et angle azimutal. L’angle polaire θ règle l’inclinaison par rapport à Oz, tandis que l’azimut φ règle la direction de la projection dans le plan Oxy. Deux points ayant le même azimut peuvent donc se trouver à des hauteurs différentes.
Limites et pièges
À l’origine. Lorsque r = 0, tous les couples d’angles conduisent au même point O. Si un calcul demande une représentation unique, il faut fixer une convention ou revenir aux coordonnées cartésiennes.
Sur l’axe Oz. Pour θ = 0 ou θ = π, la projection sur le plan Oxy est l’origine du plan. L’azimut φ n’a alors aucune direction déterminée ; changer sa valeur ne change pas le point.
Conventions inversées. Certains textes échangent les rôles ou les lettres θ et φ. Le symptôme est une formule de conversion différente de celle annoncée ici. Il faut vérifier la définition des angles avant tout calcul, et non se fier aux seules lettres.
Périodicité de l’azimut. Les valeurs φ et φ + 2π décrivent la même direction. Pour éviter plusieurs écritures du même point, on choisit un intervalle de référence tel que 0 ≤ φ < 2π.
Pour aller plus loin
Colatitude. Précisez la mesure de l’angle θ depuis l’axe polaire et sa relation avec le plan équatorial.
azimut. Approfondissez la direction angulaire portée par la projection d’un point sur le plan de référence.
coordonnées cylindriques. Comparez un repérage fondé sur la distance à un axe avec la distance à l’origine des coordonnées sphériques.
Cartésiennes (coordonnées). Retrouvez le système x, y, z vers lequel les formules sphériques convertissent le point M.
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