densité de probabilité

Imaginez les temps d’attente de nombreux voyageurs, répartis le long d’un axe. Une densité dessine les zones où ces valeurs se concentrent : une courbe plus haute signale davantage de valeurs par unité de temps.

Pour obtenir une probabilité, on ne lit pas simplement la hauteur de la courbe. On mesure l’aire sous la courbe entre les deux valeurs choisies. L’aire totale vaut 1, soit 100 % des résultats possibles. En revanche, l’aire au-dessus d’un point isolé est nulle pour une variable continue.

Une densité de probabilité, ou fonction de densité, décrit la loi d’une variable aléatoire continue lorsque cette loi admet une telle fonction. Notons X la variable et f sa densité. La fonction f prend des valeurs réelles positives ou nulles. Son intégrale sur l’ensemble des nombres réels vaut 1.

Pour deux nombres réels a et b tels que a ≤ b, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [a, b] est l’aire sous la courbe de f entre a et b : $P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dxP(a\; \backslash le\; X\; \backslash le\; b)=\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx$. Cette règle reste la même pour un intervalle ouvert ou semi-ouvert, car la probabilité d’une valeur isolée est nulle dans ce cadre.

La valeur f(x) n’est donc pas la probabilité de l’événement « X = x ». Elle exprime une probabilité par unité de la grandeur mesurée et peut même dépasser 1, à condition que l’aire totale reste égale à 1. Les lois normale, exponentielle et uniforme continue fournissent des exemples classiques. Toute loi continue au sens de sa fonction de répartition n’admet toutefois pas nécessairement une densité.

Un temps d’attente X, mesuré en minutes, est supposé uniforme entre 0 et 4 minutes. On cherche la probabilité d’attendre entre 1 et 3 minutes.

Données : l’intervalle possible est [0, 4] ; sa largeur vaut 4 minutes ; la densité est constante sur cet intervalle et nulle ailleurs. La courbe correspondante forme un rectangle d’aire totale 1.

1. La hauteur du rectangle est l’inverse de sa largeur : $f(x)=\frac{1}{4}f(x)=\backslash frac\{1\}\{4\}$ pour x compris entre 0 et 4.

2. L’intervalle recherché [1, 3] a une largeur de 2 minutes.
3. Son aire sous la densité vaut : $P(1\le X\le 3)={\int }_1^3\frac{1}{4}dx=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}P(1\; \backslash le\; X\; \backslash le\; 3)=\backslash int\_1^3\; \backslash frac\{1\}\{4\}\backslash ,dx=\backslash frac\{2\}\{4\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$.

La probabilité cherchée est donc 1/2, soit 50 %. Pour contrôler le calcul, les deux intervalles restants, [0, 1] et [3, 4], ont chacun une aire de 1/4. Les trois aires donnent bien 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1.

Pour un temps, une taille ou une mesure modélisée de façon continue, on choisit un intervalle puis on calcule l’aire sous la densité. Si les résultats possibles sont dénombrables, une loi discrète et ses probabilités ponctuelles sont plus adaptées.

Pour simuler un temps d’attente uniforme entre 0 et 4 minutes, on tire une valeur dans cet intervalle avec la même densité partout. Une densité non constante convient lorsque certaines zones doivent être plus fréquentes que d’autres.

Pour comparer un modèle à des observations, on examine la proportion observée dans plusieurs intervalles et les aires prévues par la densité. Un histogramme aide à visualiser cet accord, mais ses hauteurs dépendent de la largeur des classes : ce sont les aires qu’il faut comparer.

Densité et probabilité ponctuelle. Pour une variable continue, f(2) est une hauteur, tandis que P(X = 2) vaut 0. Une probabilité s’obtient sur un intervalle par une aire.

Densité et fonction de répartition. La densité décrit localement la concentration des valeurs. La fonction de répartition donne directement P(X ≤ x) et ne décroît jamais. Pour la loi uniforme sur [0, 4], la densité reste à 1/4, tandis que la fonction de répartition augmente de 0 à 1.

Densité continue et loi discrète. Une loi discrète est portée par un ensemble au plus dénombrable et attribue une probabilité non nulle à chacune des valeurs de son support. Un dé équilibré donne ainsi une probabilité de 1/6 au résultat 2, situation qui ne se décrit pas par l’aire d’une densité ordinaire.

Une hauteur supérieure à 1 n’est pas une erreur. Une variable uniforme sur [0, 1/2] a une densité égale à 2 sur cet intervalle. L’aire vaut néanmoins 2 × 1/2 = 1 ; il faut contrôler l’aire, pas plafonner la courbe.

Une densité peut changer sur quelques points. Modifier sa valeur en un nombre fini de points ne change aucune intégrale, donc aucune probabilité. Il faut comparer les aires plutôt que réclamer une valeur ponctuelle unique de la densité.

Toute fonction non négative n’est pas une densité. Si son intégrale totale vaut 2, elle n’est pas normalisée. Lorsque cette intégrale est finie et strictement positive, on peut diviser la fonction par ce total pour obtenir une densité.

Toute loi sans atomes n’a pas forcément une densité. Une fonction de répartition peut être continue sans être l’intégrale d’une densité. Avant d’utiliser une formule intégrale avec f, il faut donc vérifier que la loi admet effectivement une densité.

La fiche variable aléatoire précise l’objet numérique dont la densité décrit la loi.

La fonction de répartition donne les probabilités cumulées et permet de relier une aire sous la densité à un seuil.

La loi exponentielle montre une densité non constante utilisée pour modéliser certaines durées positives.