fonction de Green

Imaginez une corde fixée à ses deux extrémités. On exerce une poussée en un seul point et l’on observe la déformation en chaque endroit. La fonction de Green est la carte de cette réponse élémentaire : elle dépend du point où l’on pousse et du point où l’on regarde.

Si une force est répartie sur toute la corde, on additionne les réponses ponctuelles, chacune pondérée par la force locale. Cette superposition reconstitue la déformation totale. Les extrémités fixées comptent autant que l’équation : avec d’autres conditions aux limites, la réponse élémentaire changerait.

Soit L un opérateur différentiel linéaire agissant sur des fonctions définies dans un domaine donné. Le point x est le point d’observation et le point ξ la position d’une source ponctuelle. Une fonction de Green G(x, ξ) associée à L et aux conditions aux limites choisies vérifie, au sens des distributions, $L_{x}G(x,\xi )=\delta (x-\xi )L\_xG(x,\backslash xi)=\backslash delta(x-\backslash xi)$. La distribution de Dirac δ concentre une unité au point ξ. Pour chaque ξ, la fonction de x donnée par G satisfait aussi les conditions aux limites du problème.

Lorsque l’existence de G et les intégrales sont assurées, une source distribuée f produit une solution particulière de L·u = f par superposition : Le domaine d’intégration Ω est celui du problème. Selon le cadre, il faut ajouter un terme imposé par des conditions aux limites non homogènes ou traiter séparément une solution de l’équation homogène.

La fonction de Green n’est donc pas attachée au seul symbole L. Elle dépend aussi du domaine et des conditions aux limites. Des fonctions de Green existent pour de nombreux opérateurs linéaires, y compris à coefficients variables ; leur existence et leur unicité ne sont toutefois pas automatiques. Dans les problèmes auto-adjoints assortis de conditions appropriées, une symétrie G(x, ξ) = G(ξ, x) peut apparaître, mais elle n’est pas universelle.

Cinq éléments forment le dispositif. L’opérateur linéaire L décrit l’action différentielle. Le domaine Ω et ses conditions aux limites fixent le cadre. Le point source ξ localise l’impulsion de Dirac. Le point x indique où la réponse est observée. Enfin, le noyau G(x, ξ) rassemble toutes ces réponses ponctuelles.

À ξ fixé, l’opérateur agit sur la variable x ; la réponse respecte alors les limites du domaine. Quand la source f remplace l’impulsion, l’intégrale pondère chaque colonne G(x, ξ) par la valeur f(ξ). L’opérateur, le domaine et les conditions aux limites déterminent donc G ; G et f déterminent ensuite une solution. Un dessin ou un changement d’échelle ne définit pas la fonction de Green, tandis qu’un changement de condition aux limites peut la modifier entièrement.

On résout −u″(x) = 1 sur l’intervalle [0,1], avec u(0) = u(1) = 0. Les données sont l’opérateur L = −d²/dx², la source constante f(x) = 1 et des conditions de Dirichlet nulles. Pour une source placée en ξ, la réponse est linéaire de part et d’autre de ξ, nulle aux extrémités et continue au point source. Pour ξ = 0,4, son graphe triangulaire atteint exactement 0,24 au sommet.

1. La fonction de Green du problème est 2. Elle est nulle pour x = 0 et x = 1. Sa dérivée passe de 1 − ξ à −ξ : le saut vaut −1, donc −G″ est bien la distribution de Dirac en ξ.
3. Pour la source f = 1, on partage l’intégrale au point ξ = x : 4. Au milieu, u(1/2) = 1/8. Le contrôle donne u(0) = u(1) = 0 et −u″(x) = 1.

En électrostatique, une fonction de Green donne le potentiel créé par une charge ponctuelle tout en respectant les frontières du dispositif. Une distribution de charges s’obtient ensuite par superposition. Si la géométrie ou l’opérateur de conditions aux limites change, il faut employer une fonction de Green adaptée. Si seules les valeurs imposées sur la frontière changent, c’est en général le terme de bord qui doit être adapté.

En acoustique, la réponse à une excitation localisée sert de brique pour décrire un champ produit par une source étendue. Une fonction de Green est pertinente lorsque le modèle reste linéaire. Si la réponse dépend de l’amplitude de manière non linéaire, la simple superposition ne convient plus.

Pour résoudre un problème aux limites, on identifie d’abord l’opérateur, le domaine et les conditions imposées. Une formule explicite de G permet alors une intégration directe, comme sur [0,1]. Quand la géométrie rend cette formule inaccessible, une méthode numérique peut calculer la solution sans disposer d’une expression fermée de G.

Solution fondamentale. Elle répond elle aussi à une source de Dirac, mais elle est généralement définie dans l’espace entier, sans les frontières du problème. Une fonction de Green incorpore les conditions aux limites. Pour −d²/dx², la réponse sur toute la droite ne s’annule pas nécessairement en 0 et 1 ; la fonction triangulaire de l’exemple, elle, s’y annule.

Formule ou identité de Green. Une identité de Green relie des intégrales portant sur un domaine et sa frontière, à la manière d’une intégration par parties. Une fonction de Green est un noyau G(x, ξ) qui répond à une source ponctuelle. La présence de deux variables et de l’équation avec δ distingue immédiatement le noyau d’une identité intégrale.

Conditions aux limites oubliées. Écrire seulement L·G = δ ne sélectionne pas toujours une réponse unique. Le symptôme est la possibilité d’ajouter à G une solution non nulle de L·v = 0. Il faut préciser le domaine et les conditions aux limites avant de parler de « la » fonction de Green.

Noyau de l’opérateur. Si le problème homogène possède des solutions compatibles avec toutes les conditions imposées, l’inverse de L peut ne pas exister ou ne pas être unique. Une source arbitraire n’admet alors pas forcément de solution. Il faut vérifier une condition de compatibilité, fixer une normalisation ou travailler sur un sous-espace approprié.

Singularité au point source. L’égalité L·G = δ s’entend souvent au sens des distributions. Dans l’exemple unidimensionnel, G reste continue, mais sa dérivée saute de 1 − ξ à −ξ, soit exactement −1. Exiger deux dérivées classiques au point ξ ferait disparaître l’impulsion ; il faut interpréter l’équation distributionnellement.

Symétrie supposée. L’égalité G(x, ξ) = G(ξ, x) est valable dans des cadres auto-adjoints appropriés, comme l’exemple sur [0,1], mais pas pour tout opérateur linéaire. Si l’opérateur ou les conditions ne sont pas auto-adjoints, il faut calculer le noyau adjoint au lieu de permuter les variables sans justification.

distribution de Dirac — Pour préciser le sens mathématique de la source ponctuelle placée au cœur de l’équation de Green.

laplacien d'une fonction — Pour étudier un opérateur central des problèmes de potentiel où interviennent les fonctions de Green.

Ma première équation différentielle — Pour reprendre les bases des équations différentielles avant d’aborder leur résolution par un noyau de Green.

De l’équation de Laplace au laplacien — Pour relier les problèmes de potentiel, l’opérateur de Laplace et le cadre historique de la notion.