Gershgorin (disques de)

Regardez une ligne d'une matrice carrée. Le nombre placé sur la diagonale donne le centre d'un disque, et les autres nombres de la ligne déterminent sa taille. Plus la somme des modules de ces coefficients hors diagonale est grande, plus le disque s'étend.

En répétant ce geste ligne après ligne, on trace une zone du plan complexe où toutes les valeurs propres sont forcément enfermées. On ne les calcule pas encore, mais on sait déjà où les chercher.

Soit A une matrice carrée complexe de taille n. Pour chaque numéro de ligne k, le disque de Gershgorin associé a pour centre le coefficient diagonal a_kk. Son rayon R_k est la somme des modules des coefficients non diagonaux de cette ligne :

Le théorème affirme que chaque valeur propre de A appartient à l'union des n disques D_k. Il s'applique à toute matrice carrée complexe, sans supposer qu'elle est symétrique ou diagonalisable. Les centres peuvent donc être complexes. Une construction par colonnes est également valable : elle revient à appliquer le théorème à la matrice transposée. Dans les deux versions, le résultat localise le spectre, mais ne donne généralement ni la position exacte ni l'affectation d'une valeur propre à un disque particulier.

Considérons une matrice carrée à deux lignes. Sa première ligne contient 4 puis 1 ; sa seconde contient 2 puis 3 :

1. Pour la première ligne, le centre vaut 4 et le rayon vaut |1| = 1. Le premier disque vérifie donc |z − 4| ≤ 1.
2. Pour la seconde ligne, le centre vaut 3 et le rayon vaut |2| = 2. Le second disque vérifie donc |z − 3| ≤ 2.
3. L'union des deux disques est la zone garantie par le théorème. Sur l'axe réel, elle s'étend de 1 à 5.

Un contrôle indépendant consiste à calculer le polynôme caractéristique :
Les deux valeurs propres sont donc 2 et 5. La première appartient au disque centré en 3 ; la seconde est sur la frontière des deux disques, ce qui confirme la localisation. La figure représente exactement ces deux disques dans le plan complexe.

Avant un calcul numérique de valeurs propres, les disques donnent une zone de recherche à partir des seules lignes de la matrice. Si une localisation suffit, ils évitent un calcul spectral complet ; si des valeurs précises sont nécessaires, un algorithme de valeurs propres prend le relais.

Pour tester rapidement l'inversibilité, on vérifie si zéro est absent de tous les disques. Dans ce cas, zéro ne peut pas être une valeur propre et la matrice est inversible. Si un disque contient zéro, le test ne conclut rien : il faut employer un déterminant, une factorisation ou un autre critère.

Pour étudier une évolution linéaire, la position des disques par rapport à l'axe imaginaire borne la partie réelle du spectre. S'ils restent tous strictement dans le demi-plan gauche, chaque valeur propre y reste aussi. Dès qu'un disque franchit l'axe, une méthode plus précise est nécessaire pour trancher.

Disque de Gershgorin et valeur propre. Un disque est une région de localisation calculée à partir d'une ligne ; une valeur propre est un nombre satisfaisant l'équation spectrale de la matrice. Dans l'exemple, le disque centré en 3 contient une infinité de points, mais seules 2 et 5 sont valeurs propres de la matrice.

Rayon d'un disque et rayon spectral. Le rayon R_k additionne les modules hors diagonale d'une seule ligne. Le rayon spectral est le plus grand module parmi toutes les valeurs propres. Dans l'exemple, les rayons des disques valent 1 et 2, tandis que le rayon spectral vaut 5.

Des disques qui se chevauchent ne répartissent pas les valeurs propres. Le théorème garantit une appartenance à l'union, pas une valeur propre par disque. Dans l'exemple, 5 appartient simultanément aux deux frontières. Il faut calculer le spectre ou utiliser un résultat de séparation plus fin pour attribuer un nombre de valeurs propres à une région.

Un disque contenant zéro ne prouve pas la singularité. Le seuil utile est strict : si, pour chaque ligne k, |a_kk| > R_k, alors zéro est exclu de tous les disques. Une égalité ou l'inégalité inverse rend seulement ce test indécis ; elle ne démontre pas que zéro est une valeur propre.

La localisation peut être très large. De grands coefficients hors diagonale produisent de grands rayons, même lorsque les valeurs propres occupent une zone bien plus petite. On peut alors comparer les versions par lignes et par colonnes, ou recourir à une méthode spectrale plus précise.

valeur propre — Relier la localisation géométrique à l'équation qui définit précisément les nombres recherchés.

Spectre — Situer les valeurs propres dans l'ensemble spectral dont les disques donnent une borne.