Robuste
En statistique, une procédure ou un estimateur est dit robuste s'il est peu sensible aux données aberrantes (outliers) ou aux écarts par rapport aux hypothèses du modèle. La robustesse peut être mesurée par la fonction d'influence, qui décrit l'effet d'une petite contamination sur l'estimateur, ou par le point de rupture, qui indique la proportion minimale de contaminations ou de remplacements capable de rendre l'estimation arbitrairement mauvaise, selon la convention retenue. La médiane est un estimateur robuste de la position centrale, contrairement à la moyenne qui est très sensible aux valeurs extrêmes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la robustesse d'une procédure statistique sans la confondre avec la détection d'anomalies.
- Recalculer l'effet d'une valeur extrême sur la moyenne et la médiane d'une série de cinq mesures.
- Relier fonction d'influence et point de rupture à deux formes complémentaires de contamination.
- Interpréter avec prudence le seuil de rupture fini de la médiane et sa limite asymptotique.
En clair
Cinq mesures valent 9, 10, 10, 11 et 12. Si une erreur remplace 12 par 60, la moyenne bondit de 10,4 à 20, tandis que la médiane reste égale à 10.
Une méthode est robuste lorsque quelques observations atypiques ou un modèle légèrement imparfait ne bouleversent pas son résultat. Elle ne nie pas les anomalies : elle limite le pouvoir qu'elles exercent sur l'estimation.
Définition
En statistique, la robustesse est une propriété d'une procédure, par exemple un estimateur de position. Elle exprime la stabilité de son résultat lorsque les données contiennent une faible proportion d'observations aberrantes ou lorsque la loi réelle s'écarte légèrement du modèle supposé. Cette propriété dépend donc à la fois de la procédure, du modèle de référence et du type de perturbation envisagé.
La fonction d'influence étudie l'effet infinitésimal d'une contamination placée en une valeur donnée. Une influence bornée empêche une observation isolée, même très éloignée, d'avoir un effet arbitrairement grand dans le cadre considéré. Le point de rupture mesure une résistance plus globale : c'est la plus petite proportion de remplacements capable de rendre l'estimation arbitrairement mauvaise, selon une définition précise de la contamination.
Pour estimer une position centrale, la moyenne a une fonction d'influence non bornée et un point de rupture qui tend vers 0 quand l'effectif augmente. La médiane a, sous les conditions usuelles d'unicité et de densité positive au centre, une influence bornée ; son point de rupture tend vers 1/2. Robuste ne signifie toutefois ni exact dans toute situation, ni insensible à toute contamination.
Un exemple, pas à pas
Une série ordonnée contient cinq mesures : 9, 10, 10, 11 et 12. Sa somme vaut 52. On suppose ensuite qu'une erreur de saisie remplace uniquement 12 par 60 ; la série contaminée devient 9, 10, 10, 11 et 60.
1. Pour la série initiale, divisez la somme 52 par l'effectif 5 : la moyenne vaut 10,4. La troisième valeur ordonnée est 10 : c'est la médiane.
2. Après le remplacement, la somme vaut 100. La moyenne vaut donc 100 ÷ 5 = 20. La troisième valeur ordonnée reste 10, donc la médiane vaut encore 10.
3. L'unique contamination, soit 1 observation sur 5, déplace la moyenne de 9,6 unités et ne déplace pas la médiane. Ce constat illustre la robustesse de la médiane face à une valeur extrême ; il ne prouve pas qu'elle résiste à toute modification.
Le contrôle est direct : 9 + 10 + 10 + 11 + 60 = 100. La médiane est la troisième valeur ordonnée, 10 : deux observations occupent les positions précédentes, dont une vaut également 10, et deux occupent les positions suivantes. La figure reprend exactement ces deux séries et leurs deux centres.
En pratique
Devant une série où quelques valeurs sont très éloignées du groupe principal, comparez d'abord moyenne et médiane. Si l'écart est fortement tiré par ces valeurs, la médiane fournit une position centrale plus résistante ; la moyenne reste pertinente si chaque amplitude doit peser pleinement.
Avec des mesures répétées perturbées par de rares pics manifestes, une médiane ou une moyenne tronquée peut remplacer la moyenne ordinaire. Le choix doit être annoncé, et les pics doivent rester visibles dans les données plutôt que disparaître sans justification.
Lorsqu'un modèle semble approximatif, une analyse de robustesse compare plusieurs hypothèses ou procédures. Si la conclusion change dès une petite perturbation plausible, il faut présenter cette fragilité au lieu de qualifier le résultat de robuste.
À ne pas confondre
Robustesse et détection des valeurs aberrantes. Une méthode robuste limite l'effet des observations atypiques ; une méthode de détection cherche à les signaler. Dans la série contenant 60, conserver 60 tout en calculant la médiane relève de la robustesse, tandis que marquer 60 comme suspect relève de la détection.
Robustesse et précision. La robustesse décrit la stabilité sous perturbation, tandis que la précision décrit la dispersion d'une estimation dans un modèle donné. Deux estimateurs peuvent être aussi robustes sans avoir la même précision, ou aussi précis sous le modèle sans résister pareillement aux valeurs extrêmes.
Robustesse et absence d'anomalies. Robuste qualifie une procédure, non une série de données. Une série parfaitement régulière n'est donc pas « robuste » par elle-même ; on examine plutôt si l'estimation demeure stable quand cette série est légèrement contaminée.
Limites et pièges
Le seuil dépend de l'effectif et de la convention. Dans un échantillon de cinq valeurs, remplacer deux observations ne suffit pas à envoyer la médiane vers une valeur arbitraire, mais en remplacer trois le peut. Le seuil de rupture par remplacement est alors 3/5 pour cet échantillon ; sa limite asymptotique est 1/2. Il faut donc annoncer la définition et ne pas réciter « 50 % » comme un seuil fini universel.
Une influence locale ne résume pas toutes les contaminations. Pour un estimateur décrit par la fonctionnelle T au modèle de loi F, on note ε la proportion de contamination et δx la masse ponctuelle placée en x. La fonction d'influence est :
Une fonction d'influence bornée contrôle une contamination infinitésimale dans ce cadre, mais ne garantit pas à elle seule un bon comportement lorsque la contamination est massive, structurée ou différente du modèle étudié. Il faut alors compléter l'analyse par le point de rupture et des scénarios adaptés.
Pour aller plus loin
Les quartiles sont déterminés à partir des rangs dans une série ordonnée. Leurs valeurs numériques sont toutefois calculées à partir des observations et dépendent donc de leurs amplitudes. Ils éclairent la construction de résumés moins sensibles aux extrêmes.
La boîte à moustaches rend visibles la médiane, les quartiles et les observations éloignées, ce qui aide à examiner une série avant de choisir un estimateur.
L'article Statistiques et probabilités revisitées replace moyenne, médiane et autres outils dans une vue plus large des raisonnements statistiques.
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