théorème de Brianchon-Poncelet
Dans le plan euclidien, le théorème de Brianchon-Poncelet affirme que le centre de toute hyperbole équilatère circonscrite à un triangle appartient au cercle d’Euler de ce triangle. Autrement dit, dès que l’hyperbole passe par les trois sommets et que ses asymptotes sont perpendiculaires, son centre est contraint à ce cercle, ce qui fournit un lieu géométrique et un test d’appartenance.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois hypothèses portant sur le triangle, l’hyperbole et ses asymptotes.
- Relier le centre de l’hyperbole au cercle d’Euler sans confondre appartenance et coïncidence.
- Vérifier le théorème par un exemple exact dans un repère orthonormé.
- Repérer les cas où une hyperbole quelconque ou une conique dégénérée ne convient pas.
En clair
Tracez un triangle, puis une hyperbole qui passe par ses trois sommets. Si les deux asymptotes de l’hyperbole se coupent à angle droit, son centre ne peut pas être placé n’importe où. Il appartient forcément au cercle qui traverse les milieux des trois côtés et les pieds des trois hauteurs du triangle.
Ce cercle est le cercle d’Euler, aussi appelé cercle des neuf points. Le théorème relie ainsi une propriété de la conique, la perpendicularité de ses asymptotes, à un lieu remarquable propre au triangle.
Définition
Le théorème de Brianchon-Poncelet concerne une hyperbole équilatère circonscrite à un triangle non dégénéré. Ici, « circonscrite » signifie que l’hyperbole passe par les trois sommets du triangle. Une hyperbole est dite équilatère lorsque ses deux asymptotes sont perpendiculaires ; leur point d’intersection est le centre de l’hyperbole.
Le cercle d’Euler du triangle, ou cercle des neuf points, passe par trois groupes de points : les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments qui relient chaque sommet à l’orthocentre. Le résultat affirme que le centre de l’hyperbole appartient à ce cercle. Il ne dit pas que les deux centres coïncident.
Ce théorème de géométrie euclidienne du plan est attribué aux mathématiciens français Jean-Victor Poncelet et Charles-Julien Brianchon. Il met en relation une conique passant par les sommets et une figure construite uniquement à partir du triangle.
Le principe
Si une hyperbole passe par les trois sommets d’un triangle et si ses deux asymptotes sont perpendiculaires, alors le centre de cette hyperbole appartient au cercle d’Euler du triangle. Ce cercle est celui qui passe notamment par les trois milieux des côtés et les trois pieds des hauteurs. La conclusion porte sur l’appartenance au cercle, non sur une égalité entre centres.
Quand l'utiliser
Le cadre est le plan euclidien : la perpendicularité y a son sens usuel. Il faut un triangle non dégénéré, une véritable hyperbole passant par ses trois sommets et deux asymptotes perpendiculaires. Ces données permettent d’identifier le centre de l’hyperbole et le cercle d’Euler du triangle.
Si les asymptotes ne sont pas perpendiculaires, l’hyperbole n’est pas équilatère et le théorème ne permet plus de placer son centre sur le cercle d’Euler. Il faut alors déterminer ce centre directement à partir de l’équation de la conique, sans invoquer cette conclusion. De même, trois sommets alignés ne forment pas le triangle requis.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé, considérons l’hyperbole d’équation . Prenons sur sa branche positive les points A(1, 1), B(2, 1/2) et C(1/2, 2). Ils forment un triangle non dégénéré. La figure superpose l’hyperbole, ce triangle et son cercle des neuf points.
1. Les trois sommets vérifient xy = 1. L’hyperbole est donc circonscrite au triangle ABC. Ses asymptotes sont les axes x = 0 et y = 0 ; elles sont perpendiculaires et leur intersection est le centre O(0, 0).
2. Les milieux des côtés AB, AC et BC ont respectivement pour coordonnées (3/2, 3/4), (3/4, 3/2) et (5/4, 5/4). Ces trois points déterminent le cercle des neuf points.
3. Le cercle passant par ces trois milieux a pour équation :
4. Pour O(0, 0), le membre de gauche vaut 25/64 + 25/64 = 25/32. Le centre O appartient donc exactement au cercle des neuf points, comme l’annonce le théorème. Le contrôle se refait en remplaçant x et y par 0 dans l’équation du cercle.
En pratique
En géométrie analytique, le théorème fournit un contrôle rapide. Après avoir identifié une hyperbole équilatère passant par les trois sommets, on calcule son centre et l’on vérifie son appartenance au cercle d’Euler plutôt que de traiter séparément les neuf points remarquables.
Dans une construction, on peut d’abord tracer le cercle d’Euler à partir des milieux des côtés. Le centre d’une hyperbole équilatère circonscrite doit se trouver sur ce cercle ; un centre extérieur révèle une erreur de tracé ou une hypothèse non satisfaite.
Si la conique est une hyperbole quelconque, le critère décisif est l’angle entre ses asymptotes. Sans angle droit, on préfère le calcul direct du centre : le théorème de Brianchon-Poncelet n’apporte alors aucune localisation sur le cercle d’Euler.
À ne pas confondre
Une hyperbole équilatère n’est pas une hyperbole quelconque. Le critère qui les sépare est testable : ses asymptotes doivent être perpendiculaires. Une hyperbole passant par les trois sommets mais dont les asymptotes forment un autre angle ne relève pas de l’énoncé.
Le cercle d’Euler n’est pas l’hyperbole circonscrite. Le premier passe notamment par les milieux des côtés et les pieds des hauteurs ; la seconde passe par les sommets. Dans l’exemple, le point O est sur le cercle, tandis que A, B et C sont sur l’hyperbole.
Limites et pièges
Appartenance, pas coïncidence. Dire que le centre de l’hyperbole est sur le cercle d’Euler ne signifie pas qu’il est le centre de ce cercle. Dans l’exemple, ces points sont respectivement O(0, 0) et (5/8, 5/8).
Sens de « circonscrite ». La condition vérifiable est le passage de l’hyperbole par chacun des trois sommets. Une courbe qui entoure seulement le dessin du triangle, sans passer par A, B et C, ne satisfait pas l’hypothèse.
Conique dégénérée. Deux droites perpendiculaires ne doivent pas être traitées automatiquement comme l’hyperbole de l’énoncé. Il faut vérifier que l’équation représente bien une hyperbole non dégénérée possédant un centre et deux asymptotes.
Lecture à sens unique. L’énoncé donné part d’une hyperbole équilatère circonscrite et localise son centre. Repérer un point sur le cercle des neuf points ne suffit pas, à lui seul, à exhiber une telle hyperbole ; il faut encore construire ou vérifier la conique.
Pour aller plus loin
La fiche hyperbole équilatère précise la perpendicularité des asymptotes, hypothèse qui déclenche le théorème.
La fiche cercle des neuf points approfondit le lieu géométrique auquel appartient le centre de l’hyperbole.
La fiche Orthocentre présente le point utilisé pour définir trois des neuf points du cercle d’Euler.
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