Tietze Heinrich

Imaginez une carte faite de chemins et de boucles. On peut la décrire avec quelques lettres, qui représentent des trajets, et des règles, qui indiquent quelles boucles se referment. Tietze a étudié comment ajouter ou retirer une lettre et une règle devenues redondantes, sans modifier la structure topologique décrite. Ces changements portent le nom de transformations de Tietze. Ils servent à comparer des descriptions finies d’un même groupe fondamental, c’est-à-dire l’information sur les boucles d’un espace.

Une présentation finie d’un groupe est une description par un nombre fini de générateurs et de relations. Les générateurs sont les éléments de base que l’on combine ; les relations imposent les égalités à respecter entre ces combinaisons. Dans le contexte topologique, le groupe décrit est le groupe fondamental d’un espace, construit à partir de ses lacets autour d’un point de base.

Une transformation de Tietze ajoute un générateur qui est déjà exprimable avec les générateurs existants, accompagné de la relation qui le définit, ou supprime un tel couple devenu redondant. Elle peut aussi ajouter ou retirer une relation qui découle déjà des autres. Ces opérations changent l’écriture de la présentation, mais pas le groupe présenté. Le théorème de Tietze caractérise ainsi l’équivalence des présentations finies d’un même groupe ; l’invariance topologique du groupe fondamental relève, elle, de l’invariance homotopique. Deux espaces homéomorphes conduisent donc à des groupes fondamentaux isomorphes, même si leurs présentations finies diffèrent.

Heinrich Franz Friedrich Tietze (1880–1964) vient d’une famille d’universitaires géologues. Il étudie à Vienne, où il se lie d’amitié avec Paul Ehrenfest, Hans Hahn et Gustav Herglotz. Sa thèse de doctorat porte sur les équations fonctionnelles en 1904 ; son habilitation, obtenue en 1908, porte sur les invariants topologiques. Il enseigne à Brünn, aujourd’hui Brno, de 1910 à 1919, puis à Erlangen jusqu’en 1925 et à Munich jusqu’à sa retraite ; la Première Guerre mondiale interrompt sa carrière à Brünn. Le théorème de prolongement de Tietze concerne l’extension d’une fonction continue définie sur un fermé d’un espace normal à tout l’espace, avec conservation de bornes lorsqu’elles sont pertinentes. Il étudie aussi le problème d’isomorphisme des groupes, développe la théorie combinatoire des nœuds et s’intéresse aux problèmes de coloriage et à leurs généralisations dimensionnelles, sans que cela autorise à affirmer l’absence générale d’analogue du théorème des quatre couleurs en dimension supérieure.

Considérons une présentation finie comportant deux générateurs, a et b, et une relation qui impose que b soit égal à a. Les données sont donc les deux générateurs, la relation de définition de b et le groupe présenté.

1. La relation rend b entièrement déterminé par a.
2. Le générateur b peut donc être supprimé en même temps que sa relation de définition.
3. Il reste une présentation à un seul générateur, a, qui décrit le même groupe que la présentation initiale.
4. La transformation a simplifié l’écriture sans modifier le groupe présenté.

Le contrôle consiste à réintroduire b en lui donnant la relation b = a : on retrouve exactement la présentation de départ. Cette réversibilité vérifie, dans ce cas, que l’ajout et la suppression portent sur une information redondante.

En topologie algébrique, une présentation finie sert à conserver une description calculable d’un groupe fondamental. Les transformations de Tietze permettent de la réorganiser lorsqu’une présentation plus courte ou plus lisible est utile.

Dans l’étude des nœuds, les descriptions combinatoires peuvent varier avec le dessin choisi. Le critère pertinent est alors de vérifier si les changements de présentation relèvent d’opérations autorisées, plutôt que de comparer seulement l’apparence des dessins.

Pour lire un résultat attribué à Tietze, il faut distinguer la présentation d’un groupe de l’invariant lui-même. Une présentation est une écriture ; l’invariant est la structure qui reste identique après les transformations admises.

Une présentation finie n’est pas le groupe fondamental lui-même. La première est une description par générateurs et relations ; le second est la structure algébrique attachée aux lacets d’un espace. Deux présentations différentes peuvent décrire le même groupe, ce que l’on teste notamment par des transformations de Tietze.

Le théorème de prolongement de Tietze n’est pas une transformation de Tietze. Le premier concerne, dans un espace normal, le prolongement à tout l’espace d’une fonction continue définie sur un fermé ; les secondes modifient une présentation de groupe. Le domaine du résultat permet de trancher ces deux sens du nom de Tietze.

Une présentation plus courte n’est pas automatiquement une présentation équivalente. Si un générateur est supprimé sans la relation qui l’exprime à partir des autres, l’information peut disparaître. Le bon réflexe consiste à vérifier que chaque suppression concerne un générateur redondant et sa relation de définition.

L’invariance concerne le groupe fondamental, pas nécessairement chaque détail du dessin ou de la présentation. Des espaces peuvent avoir des présentations différentes tout en donnant des groupes isomorphes ; inversement, une modification non autorisée de relation peut changer le groupe.

Il ne faut pas attribuer à une seule transformation toute la portée des travaux de Tietze. Sa contribution comprend aussi l’étude du problème d’isomorphisme pour les groupes, le théorème de prolongement et des méthodes combinatoires pour la théorie des nœuds.

Pour replacer le groupe fondamental dans son histoire, la fiche consacrée à Poincaré Henri rappelle le rôle de Poincaré, dont la notion de groupe fondamental date de 1895.

Pour explorer le contexte scientifique de Tietze, la fiche Hahn Hans présente l’un des mathématiciens avec lesquels il se lie d’amitié pendant ses études à Vienne.

La lecture de l’article Birapport d'un autre monde ouvre une autre porte vers la topologie et ses objets, avec un angle consacré au groupe fondamental.