Cauchy a démontré que tous les polyèdres convexes sont rigides (voir article « Premières découvertes »), c’est-à-dire que si l’on construit un polyèdre convexe dont les faces sont des tôles d’acier et les arêtes des charnières alors il est impossible de modifier la forme de l’objet, tout comme si les charnières étaient soudées. C’est ainsi qu’un échafaudage, constitué de polyèdres convexes, est stable !
Dans le théorème de Cauchy il y a toutefois une hypothèse très contraignante : la convexité du solide. Sans surprise, la question s’est alors posée de savoir dans quelle mesure on pouvait supprimer cette hypothèse. À l’époque de Cauchy tous les polyèdres connus étaient rigides, y avait-il donc un théorème là-dessous ? Cauchy lui-même fit quelques recherches, mais ne parvint pas à conclure.
Contre-exemples partiels ------------------------
En 1898, Raoul Bricard (1870-1943) est le premier à exhiber un polyèdre à la fois non convexe et flexible : l’octaèdre de Bricard. Si le polyèdre est matérialisé par des barres articulées aux sommets alors le polyèdre est flexible. Seule petite déception : ses faces s’intersectent entre elles. Bricard découvre ensuite un second octaèdre flexible, mais toujours avec des faces qui se croisent.
En 1900, Max Brückner, dans sa somme intitulée Vielecke und Vielflache, décrit des anneaux de tétraèdres, une idée qui sera redécouverte plusieurs fois par la suite. Il s’agit de tétraèdres réguliers reliés entre eux par leurs arêtes. Lorsqu’ils sont au moins 6, la chaîne peut se refermer sur elle-même et autoriser un mouvement. À partir de 8, l’anneau peut même tourner indéfiniment sur lui-même. Mais peut-on encore parler de polyèdre quand ses parties constitutives se tiennent par une arête ?…