È il teorema dei quattro colori, un celebre risultato di topologia. Ma se proviamo a colorare il piano P in modo che due punti qualsiasi a distanza di un’unità non abbiano mai lo stesso colore, qual è il numero minimo di colori necessario? È il numero cromatico c(P) del piano. La questione fu posta nel 1950 da Edward Nelson, matematico statunitense allora studente, e pubblicata da Martin Gardner nella sua rubrica su Scientific American. Era già stata studiata dal matematico svizzero Hugo Hadwiger, il cui nome è associato a quello di Nelson per questo problema. Tutti hanno trasformato il problema ricorrendo a grafi, i cui vertici rappresentano regioni del piano e i cui archi la loro adiacenza.
Sono necessari quattro colori, come dimostrano i grafi, di sette vertici, dei fratelli Leo e William Moser e quello, di dieci vertici, di Solomon Golomb.
Il limite superiore si deve al matematico statunitense John Isbell, che ha individuato una soluzione con sette colori: una tassellazione del piano con esagoni regolari di diametro leggermente inferiore a 1.
L’ultimo progresso si deve a un matematico dilettante britannico. Ha appena pubblicato un articolo che attesta che c(P) ≥ 5. Aubrey de Grey, biologo di professione e matematico nel tempo libero, espone in una decina di pagine le sue argomentazioni, combinando grafi con archi di lunghezza 1 e fusi di Moser per giungere a un grafo di 20 245 vertici (!), di cui ha verificato informaticamente che non era colorabile con quattro colori. Da allora il grafo è stato semplificato, fino a 826 vertici, grazie a Marijn Heule, ma non si sa ancora se c(P) = 5, 6 o 7.
