Nel 1760 Daniel Bernoulli si interessò al problema dell’inoculazione del vaiolo, chiamato anche vaiolo nero. Il vaiolo era una malattia gravissima, responsabile allora di circa un tredicesimo di tutti i decessi. Una tecnica preventiva originaria dell’Oriente, introdotta in Europa solo nel 18º secolo, consisteva nell’inoculare a persone sane germi del vaiolo (per esempio attraverso il pus) prelevati da persone lievemente malate. Ciò le immunizzava a vita contro il vaiolo. Purtroppo, in rari casi l’operazione andava male e la persona inoculata moriva. Si trattava dunque di sapere se il beneficio dell’inoculazione superasse o meno il rischio. Voltaire e La Condamine erano sostenitori dell’inoculazione.
-
Il modello di Bernoulli
-----------------------
Daniel Bernoulli propone il seguente modello matematico. In una popolazione stazionaria, indichiamo con x l’età degli individui, una variabile che si suppone continua, e con P (x) la densità di individui di età x, il che significa che l’integrale di P (x), per x > 0, dà la popolazione totale. Suddividiamo questa popolazione in due gruppi: vi è una densità S (x) di individui di età x che non hanno mai contratto il vaiolo e sono quindi suscettibili di contrarlo, e una densità R (x) di individui che lo hanno contratto, sono sopravvissuti e sono quindi immuni. Pertanto, P (x) = S (x) + R (x). La durata della malattia è così breve che il numero dei malati viene trascurato rispetto alle altre due categorie. Indichiamo con m (x) il tasso di mortalità all’età x, non dovuto al vaiolo. Daniel suppone che, tra le età x e x + dx (con dx infinitesimo), ogni individuo non ancora immunizzato abbia una probabilità q dx di contrarre il vaiolo, essendo il tasso q indipendente dall’età. Ottiene così l’equazione differenziale:
(\) dS / dx = – m (x) S – q* S.
