En 1760, Daniel Bernoulli se interesó por el problema de la inoculación de la viruela, también llamada viruela menor. La viruela era una enfermedad muy grave responsable entonces de aproximadamente una decimotercera parte de todas las muertes. Una técnica preventiva originaria de Oriente, introducida en Europa solo en el 18.º siglo, consistía en inocular a personas sanas gérmenes de viruela —por ejemplo, mediante pus— tomados de personas levemente enfermas. Esto las inmunizaba de por vida contra la viruela. Por desgracia, en casos poco frecuentes la operación salía mal y la persona inoculada moría. La cuestión era, por tanto, si el beneficio de la inoculación superaba o no el riesgo. Voltaire y La Condamine eran partidarios de la inoculación.
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El modelo de Bernoulli
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Daniel Bernoulli propone el siguiente modelo matemático. En una población estacionaria, denotemos por x la edad de los individuos, una variable supuesta continua, y por P (x) la densidad de individuos de edad x; esto significa que la integral para x > 0 de P (x) da la población total. Dividimos esta población en dos: hay una densidad S (x) de individuos de edad x que aún no han sido infectados nunca por la viruela y que, por tanto, pueden contraerla, y una densidad R (x) de individuos que la han contraído, han sobrevivido y, por tanto, están inmunizados. Así, P (x) = S (x) + R (x). La duración de la enfermedad es tan breve que se desprecia el número de enfermos frente a estas otras dos categorías. Sea m (x) la mortalidad a la edad x, sin incluir la viruela. Daniel supone que, entre las edades x y x + dx (con dx infinitamente pequeño), cada individuo que aún no está inmunizado tiene una probabilidad q dx de contraer la viruela, siendo la tasa q independiente de la edad. Así obtiene la ecuación diferencial:
(\) dS / dx = – m (x) S – q* S.
