L’analisi matematica nacque inizialmente per risolvere problemi concreti, come il calcolo di aree, la ricerca del massimo di una funzione o la determinazione della tangente a una curva. Questa teoria ha una lunga storia, che non ha mai smesso di svilupparsi dall’Antichità in poi; si fonda essenzialmente sul concetto di infinito. Sulla scia di Aristotele, quest’ultimo può essere concepito come attuale oppure potenziale. Credere nell’infinito attuale significa ammettere che l’infinito esiste davvero e che non vi sono restrizioni al suo impiego, se non la necessità di usarlo con prudenza. Accettare l’infinito soltanto come potenziale, invece, equivale più o meno a considerarlo un’idealità, certo comoda ma non realmente esistente.
Aristotele, filosofo greco del 4º secolo avanti Cristo.
Nella sua Fisica propose per primo la distinzione tra infinito attuale e infinito potenziale.
Fino all’epoca di Cauchy, questa linea di demarcazione definiva più o meno due schieramenti tra i matematici. I più riluttanti respingevano senz’altro l’idea degli infinitesimi, cioè di quantità «infinitamente piccole». Eppure il calcolo differenziale e integrale aveva un bisogno imperioso di oggetti di questo tipo: i più ostili all’infinito ragionavano dunque in termini di limiti, attenendosi a un infinito potenziale. I loro avversari, invece, ammettevano l’esistenza degli infinitesimi e li usavano quindi come strumenti concreti del loro infinito attuale.
