Da un lato, tra i trattati scritti sotto le dinastie Song e Yuan (vedi l’articolo «Il quartetto matematico delle dinastie Song»), Lo specchio del mare per la misurazione del cerchio (1248), Lo specchio di giada dei quattro elementi (1303) e lo Scritto sulla matematica in nove capitoli (Shushu Jiuzhang, 1247) sono spesso lodati per l’alto livello delle conoscenze e delle teorie matematiche esposte, nonché per la complessità delle loro applicazioni pratiche (vedi l’articolo «Impostare equazioni polinomiali»). Dall’altro lato, nel contesto dello sviluppo dell’economia sociale di quell’epoca, assunse particolare rilievo la diffusione delle conoscenze e delle applicazioni pratiche della matematica.
Le formule concise per l’aritmetica ------------------------------------------
Le prime testimonianze superstiti di metodi rapidi per la moltiplicazione e la divisione si trovano in un libro intitolato Il classico matematico di Xiahou Yang. Gli specialisti non concordano sulla data di completamento dell’opera, ma la maggior parte ritiene che sia opera di Han Yan (attivo nell’8º secolo). Basandosi sul testo relativo all’uso delle bacchette da calcolo (vedi l’articolo «Contare in cinese») nel Classico matematico del Maestro Sun, compreso tra i Dieci canoni della matematica del 7º secolo, gli storici suggeriscono che allora, quando i praticanti eseguivano moltiplicazioni o divisioni con le bacchette da calcolo, i numeri fossero disposti su tre righe. Per esempio, i due operandi di una moltiplicazione sono disposti rispettivamente sulla riga superiore e su quella inferiore, mentre il risultato è posto su quella centrale. Nella divisione, il dividendo (shi) è disposto sulla riga centrale, il divisore (fa) su quella inferiore e il quoziente ottenuto su quella superiore.
La ricerca di rapidità e comodità nel calcolo potrebbe aver condotto allo sviluppo continuo di metodi rapidi per la moltiplicazione e la divisione nei quattro secoli successivi. Un’opera rappresentativa, che presenta sistematicamente vari metodi rapidi di moltiplicazione e divisione, è intitolata I metodi matematici di Yang Hui (1274-1275).
Accanto ai metodi di calcolo rapido, nei libri prodotti in questo periodo compaiono numerose formule concise in rima (con questo termine indicheremo brevi frasi mnemoniche). Il ricorso a formule concise per esporre contenuti matematici si ritrova in opere quali l’Introduzione agli studi matematici (Suanxue Qimeng, 1299), lo Specchio di giada dei quattro elementi, il Grande compendio dei Nove capitoli sui metodi matematici per analogie (Jiuzhang suanfa bilei daquan, 1450, chiamato nel seguito del testo Grande compendio) o lo Specchio prezioso degli studi matematici (Suanxue Baojian, 1524).