Il paradosso delle due buste | Tangente

Nel 1988, Sandy Zabell, membro del Departement of Mathematics and Statistics della Northwestern University (Stati Uniti), presentò il paradosso dello scambio (exchange paradox) nel suo libro Symmetry and Its Discontent (vedi riquadro).

Il paradosso dello scambio ------------------------

Nel brano seguente, tratto da Symmetry and Its Discontent (Cambridge University Press, 2005), Sandy Zabell espone questo intrigante ragionamento (traduzione dell’autore dell’articolo).

«Come ultima illustrazione della natura seducente degli argomenti di simmetria in probabilità, e come sfida al lettore, concluderò con un piccolo rompicapo, che chiamerò il paradosso dello scambio :

A, B e C fanno il seguente gioco. C fa da arbitro e inserisce una somma di denaro non specificata x in una busta e la somma 2x in un’altra busta. Una delle due buste viene poi consegnata ad A, l’altra a B.

A apre la sua busta e vede che contiene 10 $. Ragiona allora così: “C’è il 50% di probabilità che la busta di B contenga la somma minore x (che sarebbe dunque di 5 $), e il 50% di probabilità che la busta di B contenga la somma maggiore 2x (che sarebbe dunque di 20

) . S e s c a m b i o l e b u s t e, i l v a l o r e a t t e s o d e i m i e i a v e r i s a r \overset{ˋ}{a} (1 / 2) \times 5). Se scambio le buste, il valore atteso dei miei averi sarà (1/2) × 5

+ (1/2) × 20

= 12, 50

, cioè 2,50 $ in più dei miei averi attuali. Dovrei quindi cercare di scambiare le buste”.

Quando A propone di scambiare le buste, B accetta senza esitazioni, poiché ha già ragionato allo stesso modo.

Sembra irragionevole che lo scambio sia vantaggioso per entrambi, ma sembra difficile mettere in discussione la logica dell’uno o dell’altro. Resisterò alla tentazione di spiegare quella che ritengo sia la soluzione del paradosso, salvo osservare che l’intero problema poggia sull’ipotesi di simmetria, apparentemente innocua, di A: che sia altrettanto probabile che B possieda la busta con l’importo maggiore o quella con l’importo minore.»

In questo libro il matematico propone la sua soluzione del paradosso dello scambio, sostenendo che l’ipotesi di equiprobabilità che B possieda la busta con l’importo maggiore o minore è inammissibile e che scambiare busta non è razionale. Che cosa ne pensate?

A questo punto è importante che l’autore concluda che è irragionevole che lo scambio sia vantaggioso per entrambi. Ma non è questo il punto… La questione è se sia irragionevole che ciascuno creda che scambiare sia più vantaggioso che tenere la propria busta, pur sapendo che il gioco non è vantaggioso per entrambi e che ciò che uno guadagnerà l’altro lo perderà…

Nel 1992, Marilyn Vos Savant, curatrice della rubrica Ask Marilyn («Chiedete a Marilyn») della rivista Parade, ricevette la domanda di un lettore: «Mi viene chiesto di scegliere una busta fra due, sapendo che una contiene il doppio del denaro dell’altra. Nella busta trovo 100 $. Devo cambiarla per aumentare il mio guadagno atteso?» In questa versione, l’avversario è scomparso e l’arbitro è più discreto.