La paradoja de los dos sobres | Tangente

En 1988, Sandy Zabell, miembro del Departement of Mathematics and Statistics de la Universidad Northwestern (Estados Unidos), presenta la paradoja del intercambio (exchange paradox) en su libro Symmetry and Its Discontent (véase el recuadro).

La paradoja del intercambio ------------------------

En el texto siguiente, extraído de Symmetry and Its Discontent (Cambridge University Press, 2005), Sandy Zabell expone este intrigante razonamiento (traducción del autor del artículo).

« Como ilustración final de la seductora naturaleza de los argumentos de simetría en probabilidad, y como reto al lector, termino con un pequeño acertijo, al que llamaré la paradoja del intercambio :

A, B y C juegan al siguiente juego. C actúa como árbitro e introduce una suma de dinero no especificada x en un sobre y la suma 2x en otro. Uno de los dos sobres se entrega entonces a A y el otro a B.

A abre su sobre y ve que contiene 10 $. Entonces razona así: «Hay un 50 % de probabilidades de que el sobre de B contenga la suma menor x (que sería, por tanto, de 5 $), y un 50 % de probabilidades de que el sobre de B contenga la suma mayor 2x (que sería, por tanto, de 20

) . S i i n t e r c a m b i o l o s s o b r e s, m i c a n t i d a d e s p e r a d a s e r \overset{ˊ}{a} (1 / 2) \times 5). Si intercambio los sobres, mi cantidad esperada será (1/2) × 5

+ (1/2) × 20

= 12, 50

, es decir, 2,50 $ más que lo que tengo ahora. Por consiguiente, debería intentar intercambiar los sobres».

Cuando A propone intercambiar los sobres, B acepta sin dificultad, pues B ya ha razonado del mismo modo.

Parece poco razonable que el intercambio beneficie a ambos, pero resulta difícil cuestionar la lógica de cualquiera de los dos. Me resistiré a la tentación de explicar lo que considero la solución de la paradoja, salvo para señalar que todo el problema se basa en la aparentemente inocua hipótesis de simetría de A según la cual es igualmente probable que B posea el sobre con la cantidad mayor o con la menor. »

En este libro, el matemático propone su solución a la paradoja del intercambio argumentando que la hipótesis de equiprobabilidad de que B posea el sobre con la cantidad mayor o menor es inadmisible y que cambiar de sobre no es racional. ¿Qué opinan ustedes?

Lo importante en este punto es que el autor concluye que es poco razonable que el intercambio beneficie a ambos. Pero la cuestión no está ahí… La cuestión es si es poco razonable que cada uno crea que intercambiar es más ventajoso que conservar su sobre, aun sabiendo que el juego no beneficia a los dos y que lo que uno gane lo perderá el otro…

En 1992, Marilyn Vos Savant, responsable de la sección Ask Marilyn («Pregunte a Marilyn») de la revista Parade, recibe la pregunta de un lector: « Me piden que elija uno de dos sobres y me dicen que uno contiene el doble de dinero que el otro. Encuentro 100 $ en el sobre. ¿Debo cambiarlo para aumentar mi ganancia esperada? » En esta versión, el adversario ha desaparecido y el árbitro es más discreto.