cercle de Mohr

Imaginez un minuscule cube découpé dans une pièce chargée. Sur chacune de ses faces agissent une contrainte normale, en traction ou en compression, et un glissement parallèle. Si l'on tourne la face observée, ces deux effets changent, alors que le chargement du cube reste le même.

Le cercle de Mohr rassemble toutes ces décompositions sur un dessin. L'axe horizontal porte la contrainte normale et l'axe vertical la contrainte tangentielle. Les points les plus à droite et à gauche donnent les contraintes principales ; le haut et le bas indiquent le cisaillement maximal.

Le cercle de Mohr est le lieu des couples formés par la contrainte normale et la contrainte tangentielle exercées sur les plans de différentes orientations passant par un même point matériel. Dans un état plan, chaque orientation fournit un point du cercle. Deux plans perpendiculaires correspondent à deux points diamétralement opposés. Une rotation physique d'un angle θ devient un déplacement angulaire de 2θ sur le diagramme, dans un sens qui dépend de la convention retenue pour le cisaillement.

On note σ_x et σ_y les contraintes normales sur deux faces perpendiculaires, et τ_xy la contrainte tangentielle associée. Le centre C et le rayon R du cercle valent :

Les intersections avec l'axe horizontal sont les contraintes principales C + R et C − R. Aux points supérieur et inférieur, la valeur absolue de la contrainte tangentielle est R. Les directions principales sont les orientations physiques pour lesquelles la contrainte tangentielle s'annule. Proposé par Otto Mohr en 1882, ce diagramme traduit ainsi la variation des composantes du tenseur des contraintes lorsque le plan étudié tourne et aide à étudier les conditions de rupture.

Le diagramme comporte cinq éléments. L'axe horizontal mesure la contrainte normale σ ; l'axe vertical mesure ici la contrainte tangentielle τ positive vers le haut. Deux points A et B codent les contraintes sur deux faces perpendiculaires : ils sont opposés sur un même diamètre. Leur milieu est le centre C, placé sur l'axe horizontal. Le rayon R mesure l'écart maximal à la contrainte normale moyenne. Enfin, chaque autre point du cercle représente une nouvelle orientation du plan étudié.

Les coordonnées de A et B déterminent donc le centre, puis le rayon ; le cercle ainsi fixé détermine à son tour toutes les contraintes transformées. La taille et la position du tracé dépendent des valeurs et des unités, tandis que sa couleur ou son échelle graphique ne définissent pas l'objet.

Un état plan de contraintes est exprimé en mégapascals. Données :
σ_x = 80 MPa ;
σ_y = 20 MPa ;
τ_xy = 30 MPa.
On adopte un axe τ positif vers le haut. Les points initiaux sont donc A(80 ; 30) et B(20 ; −30).

1. Placer le centre. La moyenne des deux contraintes normales donne C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa.

2. Calculer le rayon. Le demi-écart normal vaut 30 MPa, comme le cisaillement donné. Ainsi : $R=\sqrt{{30}^2+{30}^2}=30\sqrt{2}\approx \mathrm{42,4}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}R=\backslash sqrt\{30^2+30^2\}=30\backslash sqrt\{2\}\backslash approx42\{,\}4\backslash \; \backslash mathrm\{MPa\}$.

3. Lire les valeurs remarquables. Les contraintes principales sont 50 + 30√2 ≈ 92,4 MPa et 50 − 30√2 ≈ 7,6 MPa. Le cisaillement maximal en valeur absolue vaut 30√2 ≈ 42,4 MPa.

4. Trouver une direction principale. L'angle physique θ vérifie ici $\tan (2\theta )=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}=1\backslash tan(2\backslash theta)=\backslash frac\{2\backslash tau\_\{xy\}\}\{\backslash sigma\_x-\backslash sigma\_y\}=1$. Une direction principale est donc obtenue pour θ = 22,5° ; l'autre lui est perpendiculaire.

Contrôle. La moyenne des deux contraintes principales est exactement 50 MPa. Leur produit exact vaut (50 + 30√2)(50 − 30√2) = 700 MPa², comme 80 × 20 − 30².

En résistance des matériaux, le tracé transforme trois composantes d'un état plan en contraintes sur toute orientation. Il est pratique pour une lecture ou un contrôle manuel ; des équations de transformation sont préférables lorsqu'une valeur numérique très précise est requise.

En géomécanique, on confronte le cercle à un critère de rupture pour examiner si un état de contraintes atteint une limite. Le cercle décrit les contraintes ; il ne remplace pas le critère propre au matériau.

Pour vérifier un calcul, le centre doit retrouver la contrainte normale moyenne et le rayon le cisaillement maximal. Si l'état est véritablement tridimensionnel, une analyse par contraintes principales, puis trois cercles associés, remplace le cercle plan unique.

Cercle de Mohr et coupe du matériau. Le premier vit dans un repère de contraintes, pas dans l'espace physique. Un point de ce cercle désigne l'état de contrainte sur une orientation de plan, et non un emplacement dans la pièce.

Cercle de Mohr et critère de rupture. Le cercle décrit un chargement au point étudié. Un critère de rupture ajoute une propriété du matériau. Deux matériaux soumis au même cercle peuvent donc ne pas atteindre leur limite dans les mêmes conditions.

Convention de signe. Certains tracés portent τ vers le bas ou changent le signe du cisaillement sur les faces. Le cercle garde son centre, son rayon et ses valeurs extrêmes, mais les points sont réfléchis verticalement et le sens de parcours s'inverse. Il faut annoncer la convention avant de lire une orientation.

Rayon nul. Si σ_x = σ_y et τ_xy = 0, alors R = 0 : le cercle se réduit au point C. Toutes les directions sont principales ; chercher une direction principale unique n'a donc pas de sens.

Angle doublé. Une rotation physique de 20° se lit comme un déplacement de 40° sur le cercle. Reporter directement 20° donne une contrainte sur le mauvais plan ; il faut doubler l'angle physique, puis respecter le sens fixé par la convention.

État tridimensionnel. Un seul cercle construit avec σ_x, σ_y et τ_xy ne décrit qu'une transformation plane. Pour un état général en trois dimensions, il faut d'abord déterminer les trois contraintes principales et considérer les trois cercles formés par leurs paires.

Le tenseur explique l'objet mathématique dont le cercle représente la transformation, et replace les composantes de contrainte dans un cadre indépendant du repère.

La valeur propre éclaire le calcul algébrique des contraintes principales, complément direct de leur lecture graphique aux intersections du cercle avec l'axe horizontal.