GéométrieObjet mathématique · Glossaire
équation de Kepler
L'équation de Kepler est une relation mathématique utilisée en mécanique céleste pour décrire le mouvement d'une planète sur son orbite elliptique. Elle met en lien trois grandeurs : l'excentricité e de l'ellipse parcourue, l'anomalie excentrique E et l'anomalie moyenne M. Elle s'écrit : M = E − e·sin(E). Cette équation permet, connaissant l'anomalie moyenne (proportionnelle au temps), de déterminer l'anomalie excentrique et, une fois les autres éléments orbitaux connus, la position paramétrique de la planète sur son orbite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer anomalie moyenne, anomalie excentrique et anomalie vraie.
- Résoudre un exemple par la méthode de Newton et contrôler son résidu.
- Reconnaître le domaine elliptique et les cas où une autre équation est nécessaire.
En clair
Imaginez une planète qui parcourt une ellipse : elle accélère près du corps attracteur et ralentit lorsqu'elle s'en éloigne. Une horloge fournit un angle qui avance régulièrement, l'anomalie moyenne. Mais cet angle ne donne pas directement la position observée. L'équation de Kepler le convertit en anomalie excentrique, un angle géométrique lié à l'ellipse. L'excentricité indique alors à quel point l'orbite s'écarte du cercle.
Définition
Pour une orbite elliptique képlérienne, l'anomalie moyenne, notée M, croît uniformément avec le temps. L'anomalie excentrique, notée E, repère géométriquement le corps sur l'ellipse. L'excentricité, notée e, mesure l'aplatissement de l'orbite, avec 0 ≤ e < 1. Ces angles sont exprimés en radians dans l'équation.
Les trois grandeurs sont reliées par . Si l'instant du passage au périastre est noté τ et le moyen mouvement n, alors , à un multiple de 2π près. Connaître le temps permet donc de calculer M, puis de chercher E.
Sauf cas particuliers, cette recherche est numérique, car E apparaît à la fois seul et dans un sinus. Pour 0 ≤ e < 1, la fonction E − e sin(E) est strictement croissante : chaque valeur de M modulo 2π détermine une unique valeur de E modulo 2π. Quand e = 0, l'orbite est circulaire et l'équation se réduit à M = E.
De quoi c'est fait
L'équation assemble quatre éléments. L'ellipse fournit le cadre géométrique. Son excentricité e fixe l'écart au cercle. L'anomalie moyenne M joue le rôle d'une horloge angulaire uniforme. L'anomalie excentrique E localise le point par l'intermédiaire du cercle auxiliaire centré sur l'ellipse.
L'excentricité modifie donc la conversion de M en E, tandis que E détermine la position. Pour un demi-grand axe a et un demi-petit axe b = a√(1 − e2), les coordonnées relatives au centre sont x = a cos(E) et y = b sin(E). Le schéma matérialise ces dépendances pour l'exemple e = 0,2 et E ≈ 1,185324 rad.
Un exemple, pas à pas
Une orbite a pour excentricité e = 0,2. À l'instant étudié, son anomalie moyenne vaut M = 1 radian. On cherche l'anomalie excentrique E. La méthode de Newton part ici de E0 = 1 radian.
À chaque étape, on applique :
1. Avec E0 = 1, on obtient E1 ≈ 1,188683 rad.
2. Une deuxième itération donne E2 ≈ 1,185325 rad.
3. Une troisième donne E3 ≈ 1,185324 rad. Les six premières décimales ne changent plus.
2. Une deuxième itération donne E2 ≈ 1,185325 rad.
3. Une troisième donne E3 ≈ 1,185324 rad. Les six premières décimales ne changent plus.
Le résultat est donc E ≈ 1,185324 rad, soit environ 67,914°. Le contrôle consiste à remplacer E dans le membre droit : 1,185324 − 0,2 sin(1,185324) ≈ 1,000000 rad, ce qui retrouve M à l'arrondi affiché.
En pratique
Dans une éphéméride fondée sur une orbite elliptique képlérienne, le temps fournit d'abord l'anomalie moyenne. Résoudre l'équation donne ensuite l'anomalie excentrique, puis les coordonnées du corps sur son orbite.
Pour une orbite presque circulaire, prendre E0 = M donne souvent un bon départ à une méthode itérative. Le contrôle utile est le résidu r = E − e sin(E) − M. Pour garantir une erreur sur E inférieure à une tolérance ε, on peut imposer |r| ≤ (1 − e)ε.
Si la trajectoire modélisée est parabolique ou hyperbolique, cette forme elliptique n'est plus la bonne. On emploie l'équation de Kepler adaptée au type de conique et une anomalie correspondante.
À ne pas confondre
L'anomalie moyenne n'est pas l'anomalie vraie. La première avance uniformément avec le temps dans le modèle képlérien ; la seconde est l'angle effectivement formé au foyer par la direction du périastre et celle du corps. Sur une orbite excentrique, elles ne coïncident généralement pas.
L'anomalie excentrique n'est pas non plus l'anomalie vraie. Elle est construite depuis le centre de l'ellipse à l'aide d'un cercle auxiliaire, tandis que l'anomalie vraie se mesure au foyer. Le sommet situé au périastre donne un cas où leurs directions coïncident.
Enfin, l'équation de Kepler n'est pas l'une des trois lois de Kepler. Les lois décrivent notamment la forme des orbites et le balayage des aires ; l'équation est la relation temporelle utilisée pour déterminer une position sur une orbite donnée.
Limites et pièges
Le cas charnière e = 0 est régulier mais dégénère géométriquement : l'ellipse devient un cercle, le périastre n'a plus de direction privilégiée et M = E. Il faut alors choisir une origine angulaire par convention.
La formule M = E − e sin(E) décrite ici suppose 0 ≤ e < 1. À e = 1, la conique est parabolique ; au-delà, elle est hyperbolique. Conserver la même formule et la même anomalie produirait alors un modèle inadapté.
Les angles étant définis modulo 2π, deux écritures qui diffèrent de 2π peuvent représenter la même position. Pour suivre plusieurs révolutions sans saut artificiel, on conserve une anomalie moyenne non réduite et une branche cohérente de la solution.
Lorsque e est très proche de 1 et M proche de 0, partir de E0 = M peut ralentir ou fragiliser l'itération de Newton. Il faut choisir une initialisation plus robuste et contrôler le résidu plutôt qu'un nombre fixe d'itérations.
Pour aller plus loin
L'ellipse fournit le cadre géométrique : ses axes, ses foyers et ses paramètres éclairent la construction de l'anomalie excentrique.
La fiche sur l'excentricité précise le paramètre qui commande l'écart au cercle et intervient directement dans l'équation.
L'article Kepler ou la défaite du cercle replace l'orbite elliptique dans l'histoire du passage du cercle à l'ellipse.
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