AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction de Cobb-Douglas
La fonction de Cobb-Douglas est une fonction de production utilisée en économie pour modéliser la relation entre des facteurs de production et le niveau de production obtenu. Dans le cas général à n facteurs strictement positifs, elle s'écrit , où c est une constante positive et les ai sont des exposants réels caractéristiques de chaque facteur. Dans le cas le plus courant à deux facteurs — le capital K et le travail L — elle prend la forme , où Y désigne le niveau de production, et où c, α et β sont des paramètres du modèle, qui peuvent notamment être estimés empiriquement selon le contexte. La somme α + β mesure les rendements d'échelle : si α + β = 1, les rendements sont constants ; si la somme est supérieure à 1, ils sont croissants ; si elle est inférieure à 1, ils sont décroissants. Une propriété essentielle est sa linéarisabilité par passage au logarithme : , ce qui facilite l'estimation statistique des paramètres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de la constante, des facteurs et des exposants.
- Calculer une production et contrôler l'effet d'un doublement de tous les facteurs.
- Classer les rendements d'échelle avec le seuil α + β = 1.
- Comprendre pourquoi les logarithmes facilitent l'estimation des paramètres.
- Repérer les limites liées aux valeurs nulles et à l'interprétation statistique.
En clair
Un atelier mobilise du capital, comme ses machines, et du travail, mesuré ici en heures. Avec 100 unités de capital et 25 heures de travail, une règle choisie peut associer ces deux nombres à 100 unités produites.
La fonction de Cobb-Douglas décrit cette association par une multiplication. Chaque facteur est élevé à un exposant qui règle son poids dans le calcul. Lorsque la somme des exposants vaut 1, doubler ensemble le capital et le travail double la production calculée.
Définition
Une fonction de Cobb-Douglas est une fonction de production multiplicative. Le niveau de production est noté y, la constante positive est notée c, les n facteurs strictement positifs sont notés x1, …, xn, et leurs exposants réels sont notés a1, …, an. Sa forme générale est .
Avec deux facteurs strictement positifs, le capital K > 0 et le travail L > 0, la production Y s'écrit . Les paramètres c, α et β sont estimés empiriquement. La somme α + β classe les rendements d'échelle : ils sont constants si elle vaut 1, croissants si elle dépasse 1 et décroissants si elle est inférieure à 1.
Lorsque la production, la constante et les facteurs sont strictement positifs, leur logarithme est défini. Le modèle devient alors . Cette écriture est linéaire par rapport aux logarithmes des facteurs et facilite l'estimation statistique des exposants.
De quoi c'est fait
Dans la forme à deux facteurs, Y est la production calculée. La constante positive c règle le niveau général du modèle. Si Y, K et L sont des grandeurs dimensionnées, c porte les unités nécessaires pour que c · Kα · Lβ ait la même unité que Y ; c peut être sans unité si les variables sont normalisées en conséquence ou si l'unité de Y coïncide avec celle de Kα · Lβ. Le capital K et le travail L sont les deux entrées. Les exposants α et β déterminent comment chacune intervient dans le produit.
Chaque entrée dépend de son exposant avant d'être multipliée par l'autre entrée et par c. Les deux exposants agissent aussi ensemble : leur somme détermine l'effet d'une même multiplication appliquée à K et à L. Les valeurs de c, K, L, α et β suffisent à calculer Y ; celles de α et β suffisent à classer les rendements d'échelle.
Un exemple, pas à pas
Un atelier est décrit par une fonction de Cobb-Douglas à deux facteurs. Nous allons calculer sa production, puis mesurer l'effet d'un doublement simultané de ses facteurs.
Données. La constante vaut c = 2. Les exposants valent α = 0,5 et β = 0,5. Le capital initial vaut K = 100 unités et le travail initial vaut L = 25 heures.
Étape 1. La somme des exposants vaut α + β = 0,5 + 0,5 = 1 : les rendements d'échelle sont constants.
Étape 2. Comme une puissance 0,5 est une racine carrée, la production initiale vaut :
Étape 2. Comme une puissance 0,5 est une racine carrée, la production initiale vaut :
Étape 3. On double les deux facteurs : le capital passe à 200 unités et le travail à 50 heures. Le nouveau calcul donne .
Étape 4. Le contrôle porte sur le rapport : . La production calculée passe donc de 100 à 200 unités. Le schéma de mise à l'échelle compare ces deux calculs exacts.
Étape 4. Le contrôle porte sur le rapport : . La production calculée passe donc de 100 à 200 unités. Le schéma de mise à l'échelle compare ces deux calculs exacts.
En pratique
Pour calculer une production, on renseigne les facteurs observés et les paramètres estimés, puis on effectue les puissances et le produit. Une forme additive convient mieux lorsque les contributions doivent s'additionner au lieu de se combiner multiplicativement.
Pour lire les rendements d'échelle, on additionne les exposants. Si K et L sont multipliés simultanément par un même facteur t > 0, Y est multipliée par . Les rendements sont constants si α + β = 1, croissants si α + β > 1 et décroissants si α + β < 1.
Pour estimer les paramètres, le passage aux logarithmes transforme le produit en somme et rend possible une régression linéaire sur les logarithmes. Si une observation contient zéro ou une valeur négative, ce passage n'est pas défini ; il faut alors traiter le domaine ou estimer une forme adaptée sans cette transformation.
À ne pas confondre
Fonction de production et fonction de Cobb-Douglas. Une fonction de production relie en général des facteurs à une production ; la forme Cobb-Douglas impose un produit de puissances. Une relation purement additive entre capital et travail est une fonction de production, mais pas une Cobb-Douglas.
Rendements d'échelle et variation d'un seul facteur. Les rendements d'échelle concernent une même multiplication de tous les facteurs. Passer seulement K de 100 à 200 en gardant L = 25 ne teste donc pas le classement fourni par α + β.
Modèle linéaire et modèle linéarisé. Y = c · Kα · Lβ n'est pas une somme linéaire de K et L. C'est le logarithme de la production qui devient une combinaison linéaire des logarithmes de K et L.
Limites et pièges
Le seuil des rendements est exactement 1. Une somme α + β = 1 donne des rendements constants ; une somme supérieure ou inférieure donne respectivement des rendements croissants ou décroissants. Il faut calculer la somme avant d'interpréter séparément les exposants.
Le logarithme exige des valeurs strictement positives. Si y, c ou l'un des facteurs vaut 0 ou devient négatif, son logarithme réel n'existe pas. La forme logarithmique ne doit pas être appliquée telle quelle ; il faut vérifier le domaine et choisir une estimation compatible avec les données.
La formule initiale impose aussi un domaine. Pour des exposants réels arbitraires, on suppose chaque facteur strictement positif. Un facteur négatif peut rendre la puissance non réelle ; avec un facteur nul, un exposant négatif donne une division par zéro et l'écriture 00 est indéterminée. Il faut donc restreindre le modèle aux facteurs positifs plutôt que produire une valeur artificielle.
Une estimation décrit le modèle ajusté. Les valeurs de c, α et β sont obtenues empiriquement. Un bon ajustement statistique ne suffit pas, à lui seul, à établir que modifier un facteur causera exactement la variation calculée ; l'interprétation doit rester liée aux hypothèses et aux données utilisées.
Pour aller plus loin
fonction logarithme — Suivre la transformation qui convertit le produit de puissances en une somme exploitable.
Régression linéaire — Approfondir la méthode d'estimation rendue accessible par la forme logarithmique.
élasticité - économie - — Relier les exposants aux variations relatives étudiées en économie.
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