Girard Albert

Au début du XVII^e siècle, Albert Girard vit aux Pays-Bas, où sa famille protestante s'est exilée. Il étudie la musique et les mathématiques, puis devient ingénieur militaire. Son nom reste attaché à des écritures que tout élève rencontre encore : sin, cos et tan.

Girard voit aussi que les nombres complexes ont leur place dans la résolution des équations. Il formule l'idée qu'un polynôme possède autant de racines que son degré, à condition de travailler dans les nombres complexes et de compter les répétitions.

Albert Girard est un mathématicien français d'origine lorraine, né en 1595 et mort en 1632. Sa famille protestante s'exile aux Pays-Bas pour fuir les guerres de religion. Girard y étudie la musique et les mathématiques avant de devenir ingénieur militaire. Son activité comprend aussi l'édition des œuvres complètes de Simon Stevin et la traduction en français de travaux du cartographe hollandais Henricus Hondius.

En trigonométrie et en géométrie sphérique, on lui attribue l'introduction des abréviations sin, cos et tan. Cette attribution concerne une notation devenue universelle. En algèbre, Girard énonce sans démonstration ce que l'on nomme aujourd'hui le théorème fondamental de l'algèbre. Dans sa formulation moderne, si P est un polynôme non constant de degré n à coefficients complexes, alors P possède exactement n racines complexes comptées avec leur multiplicité.

Girard reconnaît ainsi l'utilité des nombres complexes pour résoudre les équations, y compris lorsque les racines ne sont pas réelles. Il donne également une expression explicite des termes de la suite de Fibonacci : elle permet d'obtenir un terme directement à partir de son rang, sans calculer tous les termes précédents. La fiche consacrée à la suite de Fibonacci en développe le principe. Sa carrière est brève, mais la source souligne l'importance de son apport à la notation et à la structuration de l'algèbre moderne.

Prenons le polynôme P défini, pour un nombre complexe z, par $P(z)=z^2-2z+2P(z)=z^2-2z+2$. Ses données sont le degré n = 2 et les coefficients 1, −2 et 2. Cherchons ses racines dans les nombres complexes.

1. Calculons le discriminant : Δ = (−2)² − 4 × 1 × 2 = −4. Il est négatif, donc ce polynôme n'a pas de racine réelle.

2. Dans les nombres complexes, le nombre i vérifie i² = −1, donc les deux racines carrées de −4 sont 2i et −2i.

3. Appliquons la formule quadratique : $z=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm iz=\backslash frac\{2\backslash pm2i\}\{2\}=1\backslash pm\; i$. Les deux racines sont donc 1 + i et 1 − i. La figure les situe exactement dans le plan complexe.

4. Contrôlons la première : P(1 + i) = (1 + i)² − 2(1 + i) + 2 = 2i − 2 − 2i + 2 = 0. Le même calcul avec 1 − i donne 0. Le degré vaut 2 et nous avons bien deux racines distinctes, chacune de multiplicité 1.

En trigonométrie, les abréviations sin, cos et tan rendent les calculs plus compacts. Lorsqu'une formule emploie ces trois écritures, il faut les lire comme des fonctions trigonométriques, et non comme de simples lettres multipliées.

Pour résoudre une équation polynomiale, les nombres réels peuvent ne fournir aucune solution. L'exemple P(z) = z² − 2z + 2 conduit alors à 1 + i et 1 − i : passer aux nombres complexes permet de trouver les deux racines annoncées par le degré.

Dans l'histoire des mathématiques, Girard relie plusieurs pratiques : notation trigonométrique, résolution algébrique, expression des termes de Fibonacci, édition de Simon Stevin et traduction d'Henricus Hondius. Ces traces permettent de situer son travail sans le réduire à un unique résultat.

Énoncer un théorème et le démontrer. Girard formule le théorème fondamental de l'algèbre, mais la source précise qu'il n'en donne pas de démonstration. Citer son énoncé répond à la question « combien de racines ? » ; cela ne justifie pas encore pourquoi ces racines existent.

Expression explicite et définition par récurrence. Une expression explicite donne directement un terme de la suite de Fibonacci à partir de son rang. Une récurrence calcule un terme à partir de termes précédents. La contribution mentionnée pour Girard relève de la première forme.

Le domaine doit être précisé. L'affirmation « degré n, donc n racines » est fausse si l'on exige des racines réelles : P(z) = z² − 2z + 2 n'en a aucune. Il faut chercher dans les nombres complexes.

Les répétitions comptent. Le polynôme (z − 1)² est de degré 2, mais sa seule valeur racine est 1. Elle compte deux fois parce que sa multiplicité vaut 2 ; il y a donc deux racines comptées avec multiplicité, mais une seule racine distincte.

Une attribution prudente reste nécessaire. La source dit que l'introduction de sin, cos et tan est « attribuée » à Girard. Il ne faut pas transformer cette formulation en revendication absolue d'une invention isolée.

Les dates ne doivent pas être déduites. Les années 1595 et 1632 bornent sa vie ; elles ne datent ni ses notations, ni son énoncé algébrique, ni son travail sur Fibonacci. La source ne permet pas une chronologie plus fine.

Le théorème fondamental de l'algèbre précise le résultat énoncé par Girard et le rôle du comptage avec multiplicité.

La suite de Fibonacci prolonge la mention de l'expression explicite des termes et permet d'étudier la suite elle-même.

La trigonométrie sphérique replace les abréviations sin, cos et tan dans l'un des domaines mathématiques associés à Girard.