Grassmann Hermann

En 1844, Hermann Günther Grassmann publie une théorie qui permet de raisonner sur des directions et leurs combinaisons, même au-delà des trois dimensions familières. Devenu enseignant après des études littéraires et philosophiques, il se forme parallèlement aux mathématiques et propose un cadre très général.

Son idée prépare le calcul vectoriel, l'algèbre multilinéaire et les futurs espaces vectoriels. Ses contemporains l'ignorent pourtant largement. Sa portée n'est reconnue que progressivement, notamment grâce aux travaux de Peano.

Hermann Günther Grassmann (1809–1877) est un mathématicien et linguiste allemand. Après des études de théologie, de philosophie et de littérature, il devient enseignant et se forme parallèlement aux mathématiques. Son œuvre mathématique majeure est Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, publiée en 1844.

Cette « théorie de l'extension linéaire » traite de manière générale le calcul vectoriel et les espaces de dimension quelconque. Elle pose ainsi des bases pour l'algèbre multilinéaire et pour les structures appelées plus tard espaces vectoriels. Dans un exemple élémentaire, deux directions représentées par les vecteurs u et v peuvent être combinées : la somme garde séparément l'information portée par chaque coordonnée. La figure proposée avec l'exemple rend cette combinaison visible, mais elle n'épuise pas la généralité de la théorie.

L'ouvrage reste largement ignoré par les contemporains de Grassmann, notamment Möbius et Kummer. Sa seconde édition, parue en 1862, ne rencontre pas davantage de succès. L'algèbre extérieure issue de ses travaux est distincte des quaternions introduits par Hamilton ; des relations entre ces objets apparaissent dans des constructions algébriques plus riches, notamment les algèbres de Clifford. Les travaux de Peano constituent en 1888 un moment important de la reconnaissance de la profondeur et de la généralité des travaux de Grassmann. Celui-ci s'était alors tourné vers la linguistique, où ses contributions furent mieux reçues.

Prenons un cas très simple de combinaison linéaire dans un plan. Les données sont le vecteur u, de coordonnées (2 ; 1), et le vecteur v, de coordonnées (1 ; 3). Chaque première coordonnée mesure un déplacement horizontal ; chaque seconde coordonnée mesure un déplacement vertical.

1. Additionnons les déplacements horizontaux : 2 + 1 = 3.

2. Additionnons les déplacements verticaux : 1 + 3 = 4.

3. La somme des deux vecteurs est donc donnée par l'égalité suivante :

Le résultat est un déplacement de 3 unités horizontalement et de 4 unités verticalement. Pour le contrôler, on parcourt d'abord u, puis une copie de v : on arrive au même point qu'en suivant directement u + v. Cet exemple donne une image concrète du calcul vectoriel que Grassmann a placé dans un cadre de dimension quelconque.

Pour situer Grassmann dans l'histoire des mathématiques, on part de 1844 : son Ausdehnungslehre propose déjà une théorie générale du calcul vectoriel et des dimensions quelconques. Le bon geste consiste à relier son nom à cette extension, plutôt qu'à une formule isolée.

Face à une source sur Grassmann, repérez ce qu'elle documente : le texte original, sa reformulation dans le vocabulaire moderne ou l'usage ultérieur de ses idées. Cette grille de lecture aide à distinguer ce que Grassmann formule lui-même de ce que les mathématiciens ont ensuite nommé ou développé.

Pour prolonger l'étude mathématique, on choisit l'espace vectoriel lorsque l'on examine l'addition et les combinaisons de vecteurs. On se tourne vers les quaternions lorsque l'objet recherché est précisément celui qu'Hamilton a introduit. Les liens avec les travaux de Grassmann passent par des structures algébriques plus riches, notamment les algèbres de Clifford, et non par une identité avec l'algèbre extérieure.

La théorie de Grassmann et les quaternions. L'Ausdehnungslehre est une théorie générale du calcul vectoriel et des dimensions quelconques. Hamilton a introduit les quaternions, qui ne sont pas directement contenus dans l'algèbre extérieure de Grassmann. Des liens peuvent être établis au moyen de structures algébriques plus riches, notamment les algèbres de Clifford.

Publication et reconnaissance. Publier une idée et la voir reconnue sont deux événements distincts. L'œuvre de Grassmann a d'abord été peu accueillie ; sa portée a été reconnue progressivement par des mathématiciens ultérieurs, dont Peano.

Une figure plane n'est qu'un cas particulier. Le parallélogramme de l'exemple montre une addition dans deux dimensions. Il ne faut pas en conclure que la théorie de Grassmann se limite au plan : son ambition porte précisément sur des espaces de dimension quelconque.

« Bases » ne signifie pas formulation moderne déjà stabilisée. Grassmann pose les bases de l'algèbre multilinéaire et de ce que l'on appellera plus tard les espaces vectoriels. Il est donc plus exact de parler de fondation conceptuelle que de lui attribuer rétrospectivement tout le vocabulaire ultérieur.

La postérité ne doit pas effacer l'écart historique. Le rôle fondateur aujourd'hui attribué à Grassmann ne signifie pas que son œuvre ait été comprise ou adoptée dès sa publication. Il faut distinguer le contenu du texte, son accueil initial et ses reformulations ultérieures.

L'espace vectoriel précise la structure moderne préparée par la théorie de l'extension linéaire de Grassmann.

L'algèbre linéaire replace les combinaisons de vecteurs dans le domaine auquel l'œuvre de Grassmann a ouvert la voie.

Le quaternion développe l'objet introduit par Hamilton, distinct de l'algèbre extérieure de Grassmann mais relié à elle par des constructions algébriques ultérieures.

La fiche Peano Giuseppe permet de poursuivre le repère historique associé à la reconnaissance de 1888.