Gronwall Thomas Hakon

En 1904, Thomas Håkon Gronwall quitte l'Europe pour les États-Unis après des études à Stockholm et Uppsala, puis un passage dans l'ingénierie allemande. Son parcours relie ainsi recherche universitaire et problèmes appliqués.

Son nom reste surtout attaché à une idée simple : lorsqu'une quantité ne peut croître plus vite qu'une règle donnée, cette règle fournit un plafond calculable. Ce contrôle, devenu le lemme ou l'inégalité de Gronwall, joue un rôle central dans l'étude des équations différentielles.

Thomas Håkon Gronwall (1877–1932) est un mathématicien suédois. Il étudie aux universités de Stockholm et d'Uppsala, où il obtient en 1898 son diplôme avec une thèse sur les systèmes d'équations différentielles linéaires totales à coefficients périodiques. Après avoir travaillé comme ingénieur civil en Allemagne, il émigre aux États-Unis en 1904. Il y exerce dans plusieurs entreprises industrielles ainsi qu'à Princeton, puis à Columbia à partir de 1925.

Ses travaux couvrent l'analyse — séries de Fourier, phénomène de Gibbs, séries de Laplace et de Legendre —, les équations différentielles et intégrales, la théorie des nombres, les fonctions d'une variable complexe et la géométrie différentielle. Ils concernent aussi la physique mathématique, notamment l'élasticité, la balistique, la théorie du potentiel et la théorie cinétique des gaz, ainsi que la nomographie. À Columbia, Gronwall mène encore des recherches en chimie physique et en physique atomique.

Son résultat le plus célèbre est le lemme de Gronwall, aussi appelé inégalité de Gronwall. Sous une forme classique, si une fonction u est continue et positive ou nulle, et si les constantes a et b sont positives ou nulles, l'hypothèse suivante vaut pour tout temps t entre 0 et T : $u(t)\le a+{\int }_0^{t}bu(s)dsu(t)\backslash le\; a+\backslash int\_0^t\; b\backslash ,u(s)\backslash ,ds$. Alors $u(t)\le a{e}^{bt}u(t)\backslash le\; a\; e^\{bt\}$. Cette majoration contrôle la croissance sans exiger de connaître exactement u. Gronwall est également associé à un théorème et à une méthode de sommation des séries qui généralise celles de La Vallée Poussin et de Cesàro.

On étudie, entre les temps 0 et 2, la fonction positive u définie par u(t)=2+t. Les données sont : la valeur initiale a=2, le coefficient b=1/2 et le temps final t=2. On veut vérifier l'hypothèse de Gronwall, puis lire la borne obtenue.

1. On calcule le terme intégral : ${\int }_0^t\frac{1}{2}(2+s)ds=t+\frac{t^2}{4}\backslash int\_0^t\; \backslash frac12(2+s)\backslash ,ds=t+\backslash frac\{t^2\}\{4\}$.

2. Le membre de droite de l'hypothèse vaut donc 2+t+t²/4. Comme t²/4 est positif ou nul, u(t)=2+t ne dépasse pas cette quantité sur tout l'intervalle.

3. Le lemme donne la borne $u(t)\le 2e^{t\mathrm{/}2}u(t)\backslash le\; 2e^\{t/2\}$. Au temps 2, on obtient u(2)=4 et la borne vaut 2e≈5,44. Le contrôle 4≤5,44 confirme numériquement la majoration.

La courbe de la borne exponentielle reste au-dessus de u sur l'intervalle étudié. La marge visible rappelle que le lemme fournit un plafond sûr, pas nécessairement la valeur exacte de la fonction.

Pour encadrer une solution d'équation différentielle, on transforme d'abord l'équation en une inégalité intégrale. Si le terme inconnu réapparaît sous l'intégrale avec un coefficient positif ou nul, Gronwall fournit une borne explicite. Une résolution exacte reste préférable lorsqu'elle est disponible et simple.

Pour comparer deux solutions, on applique souvent le lemme à une quantité positive mesurant leur écart. Si la borne issue de Gronwall est nulle lorsque l'écart initial est nul, les deux solutions coïncident. Si le coefficient ou le signe ne convient pas, il faut d'abord établir une autre majoration valable.

Pour suivre une erreur d'approximation, le même raisonnement sépare l'erreur initiale de son amplification au cours du temps. Le résultat donne un contrôle garanti ; une estimation plus fine est à rechercher lorsque la borne exponentielle est trop large pour l'usage visé.

Thomas Håkon Gronwall et l'inégalité de Gronwall. Le premier est le mathématicien suédois né en 1877 ; la seconde est le résultat qui porte son nom. Une date ou un parcours universitaire renvoie à la personne, tandis qu'une majoration exponentielle renvoie au lemme.

Inégalité de Gronwall et méthode de sommation de Gronwall. L'inégalité borne la croissance d'une fonction soumise à une relation intégrale. La méthode concerne la sommation des séries et généralise des procédés de La Vallée Poussin et de Cesàro. La présence d'une série à sommer, plutôt que d'une fonction à majorer, tranche entre les deux.

Une hypothèse non vérifiée empêche d'invoquer cette forme du lemme. Dans la forme énoncée ici, u doit être continue et positive ou nulle sur tout l'intervalle, et a comme b doivent être positifs ou nuls. Si u change de signe, cette forme du lemme ne permet pas de conclure ; on cherche plutôt une inégalité portant sur sa valeur absolue, sur une autre quantité positive ou une majoration obtenue par une autre méthode.

Le sens de l'inégalité est décisif. Une relation où u est supérieure au terme intégral ne produit pas la majoration ae^bt. Il faut établir une véritable borne supérieure avant d'invoquer le lemme.

Le cas b=0 est charnière. L'hypothèse devient u(t)≤a et la conclusion donne la même borne, puisque e⁰=1. L'exponentielle n'annonce donc pas toujours une croissance effective.

Une majoration n'est pas une solution exacte. Dans l'exemple, u(2)=4 alors que le plafond est 2e≈5,44. Remplacer u par cette borne ferait perdre l'information sur la fonction réelle ; il faut conserver le symbole ≤ et annoncer tout arrondi.

série de Fourier. Cette notion prolonge le portrait par l'un des domaines d'analyse auxquels Gronwall a contribué.

phénomène de Gibbs. Cette entrée précise un autre sujet cité parmi ses travaux en analyse.