symbole de Schläfli

Prenez un cube et regardez l'une de ses faces : elle possède quatre côtés. Regardez ensuite un sommet : trois faces carrées s'y rejoignent. Ces deux comptages donnent le symbole {4, 3}.

Le symbole de Schläfli fonctionne ainsi comme une fiche d'identité très compacte pour un polyèdre régulier. Le premier nombre décrit la forme des faces ; le second indique combien de ces faces entourent chaque sommet.

Le symbole de Schläfli est une notation entre accolades qui décrit des objets réguliers : polygones, polyèdres, polytopes de dimension supérieure et pavages. Le mathématicien Ludwig Schläfli l'a introduite au XIX^e siècle dans le cadre de ses travaux sur la géométrie en dimensions supérieures.

Pour un polygone régulier, le nombre p désigne le nombre de côtés. Son symbole est {p} : un carré est {4} et un pentagone régulier est {5}. Pour un polyèdre régulier, p désigne encore le nombre de côtés de chaque face, tandis que le nombre q désigne le nombre de faces qui entourent chaque sommet. Le symbole complet est alors {p, q}.

Le cube est {4, 3}, car toutes ses faces sont des carrés et trois faces se rencontrent à chaque sommet. Le dodécaèdre régulier est {5, 3}, car ses faces sont des pentagones et trois d'entre elles entourent chaque sommet. Une suite plus longue, de la forme {p, q, r, …}, étend ce principe aux polytopes réguliers de dimension supérieure.

On cherche le symbole de Schläfli d'un cube. Les données à observer sont la forme régulière d'une face et le nombre de faces réunies autour d'un sommet. La figure rend ces deux comptages visibles.

1. Choisir une face du cube. C'est un carré, donc elle possède 4 côtés : le premier nombre est p = 4.
2. Choisir un sommet. Exactement 3 faces carrées s'y rencontrent : le second nombre est q = 3.
3. Placer les nombres dans leur ordre, d'abord la face puis le sommet. On obtient {4, 3}.

Le contrôle peut être refait sur n'importe quelle autre face et n'importe quel autre sommet du cube : la face compte toujours 4 côtés et le sommet toujours 3 faces. La régularité garantit que le même symbole décrit tout le polyèdre.

Pour lire le symbole d'un polyèdre régulier, observez d'abord une face, puis un sommet. Avec {4, 3}, la face a quatre côtés et trois faces entourent chaque sommet.

Pour noter un polygone régulier, un seul comptage suffit : son nombre de côtés. Le carré devient {4} et le pentagone régulier {5} ; il n'y a pas de second nombre, puisqu'on ne décrit pas ici un assemblage de faces.

Pour comparer deux polyèdres réguliers, lisez séparément les deux positions. Le cube {4, 3} et le dodécaèdre régulier {5, 3} ont le même nombre de faces autour d'un sommet, mais leurs faces n'ont pas la même forme.

Avec le nombre total de faces. Dans {p, q}, le premier nombre p compte les côtés d'une face, et non toutes les faces du polyèdre. Pour le cube, p vaut 4 parce qu'une face est carrée.

Avec un ensemble non ordonné. Les accolades appartiennent ici à une notation dont les positions ont des rôles distincts. Dans {4, 3}, 4 décrit une face et 3 décrit l'entourage d'un sommet ; échanger les nombres change donc la lecture.

Régularité indispensable. Un seul couple {p, q} décrit le polyèdre régulier lorsque toutes les faces ont le même type et que chaque sommet présente le même entourage. Si ces comptages varient, il ne faut pas leur substituer une valeur moyenne.

Une ou deux entrées ne décrivent pas le même objet. {4} désigne le carré régulier, tandis que {4, 3} désigne le cube. Omettre le second nombre fait perdre l'information sur l'assemblage autour des sommets.

Suite en dimension supérieure. La règle à deux nombres suffit pour les polyèdres réguliers. Devant {p, q, r, …}, il faut employer la convention adaptée aux polytopes de dimension supérieure plutôt que d'attribuer au troisième nombre le rôle de q.

Le polyèdre régulier précise la famille d'objets décrite par un symbole à deux nombres.

Le dodécaèdre donne un second exemple concret : ses faces pentagonales et ses sommets conduisent au symbole {5, 3}.

La notion de polytope élargit le cadre au-delà des polyèdres, vers les dimensions supérieures mentionnées dans la notation.

Le pavage régulier montre un autre domaine où la notation de Schläfli condense une organisation géométrique régulière.