L'hyperboloïde de révolution est une surface aux multiples propriétés. Bien que sa forme soit entièrement courbe, cette surface a la particularité surprenante d'être engendrée par des droites, une propriété qui en fait un outil précieux pour concevoir aussi bien des tours de refroidissement que des engrenages.
L'hyperboloïde de révolution est obtenu en faisant tourner une hyperbole autour de son axe secondaire. On l'appelle aussi hyperboloïde à une nappe, parce que la surface est d'un seul tenant : elle ne possède qu'une seule partie connexe, appelée nappe. Un tronçon de cette surface ressemble à un diabolo, l'instrument de jonglerie. L'étude de cette surface est extrêmement ancienne, puisque Archimède l'étudiait déjà dans son traité Sur les conoïdes et les sphéroïdes.
Hyperboloïde de révolution. Les méridiens en bleu, les parallèles en noir.
La première propriété remarquable de cette surface est qu'il s'agit d'une quadrique, c'est-à-dire une surface dont les coordonnées satisfont une équation du second degré. L'hyperboloïde de révolution possède une équation du type :
x2+y2−z2tan⁡2θ=ρ2(1)x^2 + y^2 - z^2 \tan^2\theta = \rho^2 \quad (1)