L’interversion des dérivations partielles

La notion de dérivation partielle d’une fonction de plusieurs variables est apparue dans la foulée de celle de dérivation, à la fin du XVIIe siècle. On entend sous ce nom la dérivée par rapport à une variable en fixant toutes les autres. Ceci a permis de résoudre de nombreux problèmes de physique. Mais de quoi s’agit-il ?
Prenons une fonction f de deux variables (x, y) ↦\mapsto f (x, y) ; en fixant y, on peut considérer la fonction f y : x ↦\mapsto f (x, y).
N’étant plus que d’une seule variable, on peut se poser la question de sa dérivation en un point x.
Si celle-ci est possible, on la note ∂f∂x(x,y).\dfrac{\partial f}{\partial x} (x, y). On peut de même définir, si tout se passe bien, ∂f∂y(x,y).\dfrac{\partial f}{\partial y} (x, y).