Maths pour tous
Contenus mathématiques accessibles à tous
L'application inverse de l'exponentielle
On peut faire remonter l'introduction des logarithmes à la Renaissance pour résoudre des questions calculatoires. Ils ont depuis trouvé des applications plus théoriques, et sont même aujourd'hui au cœur de certains systèmes cryptographiques et donc de nos ordinateurs.
Les logarithmes : tout un vocabulaire
Dérivée logarithmique, spirale logarithmique, échelles logarithmique... et un raton laveur.
PodcastLes étonnantes inventions de John Neper
John Napier de Merchistan, gentilhomme écossais dont on célèbre cette année le quatrième centenaire de la mort, n'avait rien d'un révolutionnaire. Il le fut pourtant par sa mirifique invention des logarithmes, qui ont ouvert la route d'un nouveau monde aux mathématiques, bien au-delà du calcul.
Une jolie transformation
Une opération sur les complexes transforme les droites en cercles et inversement. Une transformation à garder en tête pour traiter des problèmes de droites et de cercles…
PodcastAu détour des complexes
Détourner son chemin, au cours d'une démonstration, pour emprunter celui des nombres complexes, peut conduire à l'un de ces « inattendus mathématiques » salvateurs.
Un peu d'étymologie | Tangente
Le vocabulaire spécifique aux nombre complexes est du à plusieurs mathématiciens au cours des siècles
Avec un ? comme comique
Les classiques de l'humour mathématique empruntent souvent quelques-unes de leurs pépites au vocabulaire des nombres complexes…
PodcastEnseigner les complexes en France
Les nombres complexes, s'ils paraissent évidents dans le libellé des programmes scolaires d'aujourd'hui, n'ont pas toujours fait partie du corpus d'enseignement des lycées.
Les complexes selon Adrien Douady | Tangente
Le film Dimensions donne à voir un certain nombre de représentations spectaculaires des complexes. À redécouvrir d'urgence !
La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann
Le problème le plus important des mathématiques contemporaines peut être formulé de manière tout à fait élémentaire avec seulement quelques rudiments d'analyse complexe. Malgré les efforts titanesques des mathématiciens, l'hypothèse de Riemann résiste et reste hors d'atteinte.
L'exponentielle complexe
Comment étendre la classique fonction exponentielle aux nombres complexes ? Les propriétés usuelles seront-elles conservées ? Si l'exponentielle ainsi étendue s'étudie aisément, la notion de logarithme complexe associée est plus difficile à cerner. Elle fera l'objet de polémiques au XVIIIe siècle.
Le théorème de Marden
Les nombres complexes, nés de calculs impossibles, ont trouvé une interprétation géométrique improbable. Cette rencontre entre le monde de l'algèbre et celui de la géométrie est magnifiquement illustrée par des théorèmes sur les racines d'un polynôme complexe.
La géométrie des complexes
Le rêve de René Descartes, à savoir transformer un problème de géométrie pure en un problème algébrique, était bien réalisable… mais plus d'un siècle plus tard ! Grâce aux nombres complexes, une autre façon d'explorer les figures et constructions géométriques a ainsi vu le jour.
PodcastUne autre transformation : l'inversion
Les isométries (et plus généralement les similitudes) ne sont pas les seules transformations du plan qui se décrivent facilement à l'aide des nombres complexes. C'est aussi le cas de l'inversion.
Des similitudes intéressantes...
L'étude des isométries se traite bien du point de vue des nombres complexes. Ces transformations ne sont cependant pas les seules à pouvoir être décrites par des formules simples ! Si l'on s'affranchit de la conservation des longueurs, la vaste famille des similitudes s'offre à nous.
PodcastLes isométries du plan
L'étude des isométries du plan (symétries, translations, rotations...) peut parfois donner le vertige. Que devient un point ou une figure lorsque l'on applique successivement plusieurs transformations ? Les nombres complexes en donnent une représentation aussi élégante que lumineuse.
PodcastDes nombres pas si complexes
Quelle réalité recouvrent les nombres complexes ? Comment « imaginer » que i² soit égal à -1 ? Une réponse visuelle saisissante passe par une interprétation géométrique de la notion de multiplication. Cerise sur le gâteau, le même modèle explique pourquoi « moins par moins fait plus ».
Conjugué, module et arguments
Une fois admise l'existence d'un nombre i tel que i²=-1, ne risque-t-on pas de perdre le contact avec la réalité physique ? Au contraire, une correspondance profonde et féconde se met en place : des questions de géométrie pure sont réglées par de simples manipulations algébriques.
Construire des ellipses à la main | Tangente
Les algorithmes en lignePrendre des décisions sans connaître l'avenir
Le don de deviner le futur serait évidemment un atout considérable. Qui n'en a jamais rêvé ? À défaut de boule de cristal, les mathématiques nous permettent de prendre des décisions peu pénalisantes, sans pour autant connaître l'avenir. Bienvenue dans le monde des algorithmes en ligne.