Curvas trazadas a mano

La pistola -----------

¿Cómo olvidar sus formas armoniosas? Algunos la llaman pistola, otros loro, y los anglosajones la denominan French curve («curva francesa»). Se trata de un pequeño instrumento de dibujo «a mano», sin ningún mecanismo, útil tanto para dibujantes como para modistas, que permite trazar curvas elegantes.

De metal, plástico o madera, como el conjunto de tres piezas ideado por el geómetra alemán Ludwig Ernst Hans Burmester (1840 - 1927) que se presenta aquí, la pieza superior se utilizará para trazar parábolas, la central para elipses y la inferior para hipérbolas. Los fragmentos de estas curvas, de dimensiones diversas, se enlazan de manera continuamente diferenciable con la mayor armonía posible.

El armonógrafo ---------------

Un mecanismo de trazado relativamente elaborado es el armonógrafo, «cruce entre un escritorio y un reloj de pie», como tan acertadamente lo describe Alex Bellos en su obra *Alex y la magia de los números* (Robert Laffont, 2015).

Este aparato mecánico permite, mediante las oscilaciones de dos péndulos y un sistema de varillas conectado a un lápiz, trazar sobre una hoja de papel curvas resultantes de la composición de los movimientos de esos péndulos: uno desplaza el lápiz de un lado a otro a lo largo de un eje D₁; el otro desplaza asimismo la hoja de un lado a otro a lo largo de un eje D₂ perpendicular a D₁. Cada uno tiene por ecuación de movimiento, en función del tiempo t, x(t) = A sin(t f + p) e ⁻*^dt, donde f es la frecuencia, p el ángulo de fase y d* un factor de rozamiento. El primero de estos aparatos, ideado por Bailie Hugh Blackburn (1823 − 1909), apareció en 1879 en una obra de divulgación científica. Desde entonces se ha extendido ampliamente, sobre todo como juguete para niños, y ha dado lugar a numerosas variantes. Las curvas que traza, según la frecuencia y la sincronización de los péndulos, pueden ser elipses, espirales o, de forma más espectacular, curvas de Lissajous.

El espirógrafo --------------

Este instrumento de dibujo no es más que un juego destinado a trazar bonitas curvas. Su nombre es hoy una marca registrada (Hasbro, 1998), pero el pintor y matemático alemán Albrecht Dürer (1471 − 1528) ya describió estas curvas en 1525.

El aparato está formado por ruedas dentadas provistas de agujeros para fijar en ellos un lápiz, que pueden rodar por el interior de anillos, también dentados. El dibujante pone en marcha el sistema haciendo girar la rueda con su lápiz, para producir formas entrelazadas (unas hipotrocoides). Son las curvas descritas por un punto P unido a una circunferencia (C) de centro O, interior a una circunferencia fija (C ₀ ), y que rueda sin deslizar por su interior. Si R designa el radio de (C ₀ ), r el de (C) (con r < R), d la distancia OP, tales curvas tienen por ecuación paramétrica compleja $z(t)=(R-r)e^{it}+d\exp (i\frac{R-r}{r}t),z(t)=(R-r)e^\{it\}+d\backslash exp(i\backslash frac\{R-r\}\{r\}t\; ),$ con 0 ≤ t ≤ 2 π .

Fue el arquitecto británico Peter Hubert Desvignes (1804 − 1883) quien desarrolló el primer espirógrafo. A la vista de las figuras obtenidas, se entiende mejor por qué estaba destinado originalmente al trazado de los finos y sutiles «guillochés» utilizados para proteger los documentos oficiales (certificados, billetes de banco…) contra las falsificaciones.