Curve tracciate a mano

La pistola -----------

Come dimenticare le sue forme armoniose? Alcuni la chiamano pistola, altri pappagallo, gli anglosassoni la chiamano French curve («curva francese»). È un piccolo strumento da disegno «a mano», privo di qualsiasi meccanismo, utile tanto ai disegnatori quanto alle sarte, che permette di tracciare curve eleganti.

In metallo, plastica o legno, come l’insieme di tre pezzi ideato dal geometra tedesco Ludwig Ernst Hans Burmester (1840 - 1927) qui raffigurato, viene impiegato per tracciare curve: il pezzo superiore serve per le parabole, quello centrale per le ellissi e quello inferiore per le iperboli. I tratti di queste curve, di dimensioni diverse, sono raccordati nel modo più armonioso possibile e in maniera continuamente differenziabile.

L’armonografo ---------------

Un meccanismo di tracciamento relativamente elaborato è l’armonografo, «incrocio tra uno scrittoio e un orologio a pendolo», come lo definisce felicemente Alex Bellos nel suo libro *Alex et la Magie des nombres* (Robert Laffont, 2015).

Questo apparecchio meccanico permette, grazie alle oscillazioni di due pendoli e a un sistema di aste collegato a una matita, di tracciare su un foglio di carta curve risultanti dalla composizione dei movimenti dei due pendoli: uno sposta la penna avanti e indietro lungo un asse D₁, l’altro sposta il foglio, anch’esso avanti e indietro, lungo un asse D₂ perpendicolare a D₁; ciascuno dei quali ha per equazione del moto, in funzione del tempo t, x(t) = A sin(t f + p) e ⁻*^dt, dove f è la frequenza, p l’angolo di fase e d* un fattore di attrito. Il primo di questi apparecchi, ideato da Bailie Hugh Blackburn (1823 − 1909), apparve nel 1879 in un’opera di divulgazione scientifica. Da allora si diffuse ampiamente, soprattutto come giocattolo per bambini, e ne nacquero numerose varianti. Le curve che traccia, a seconda della frequenza e della sincronizzazione dei pendoli, possono essere ellissi, spirali o, più spettacolari, curve di Lissajous.

Lo spirografo --------------

Questo strumento da disegno non è altro che un gioco, destinato a tracciare belle curve. Oggi il suo nome è un marchio registrato (Hasbro, 1998), ma il pittore e matematico tedesco Albrecht Dürer (1471 − 1528) descrisse già queste curve nel 1525.

L’apparecchio è formato da ruote dentate provviste di fori in cui si può fissare una matita e che possono rotolare all’interno di anelli, anch’essi dentati. Il disegnatore mette in moto il sistema facendo ruotare la ruota con una matita, producendo forme intrecciate (le ipotrocoidi). Sono le curve descritte da un punto P solidale con un cerchio (C), il cui centro O è interno a un cerchio fisso (C ₀ ), e che rotola senza slittare al suo interno. Se R indica il raggio di (C ₀ ), r quello di (C) (con r < R), d la distanza OP, tali curve hanno equazione parametrica complessa $z(t)=(R-r)e^{it}+d\exp (i\frac{R-r}{r}t),z(t)=(R-r)e^\{it\}+d\backslash exp(i\backslash frac\{R-r\}\{r\}t\; ),$ con 0 ≤ t ≤ 2 π .

Fu l’architetto britannico Peter Hubert Desvignes (1804 − 1883) a sviluppare il primo spirografo. Osservando le figure ottenute, si capisce meglio perché fosse in origine destinato alla realizzazione di motivi a «ghiglioscé» piuttosto sottili e raffinati, usati per proteggere i documenti ufficiali (certificati, banconote…) dalle falsificazioni.