La convexité se rencontre naturellement dans le plan et dans l’espace, comme l’illustrent les pages précédentes. En fait, elle trouve sa place de la même manière dans l’espace ℝ*n à n* dimensions et dans des espaces vectoriels plus généraux (y compris de dimension infinie).
C’est une notion particulièrement riche par ses propriétés et ses applications. Que se passe-t-il si l’on modifie légèrement les définitions de la convexité ? Aboutit-on à de nouvelles idées intéressantes ?
Pour le savoir, prenons un ensemble A non vide du plan ou de notre espace vectoriel.
C’est plein d’étoiles ! -----------------------
Dire que A est convexe, c’est demander que, quel que soit P dans A, quel que soit Q dans A, le segment [PQ] est tout entier inclus dans A. Modifions le premier quantificateur (« quel que soit P dans A ») en « il existe P dans A ». On obtient alors une autre notion que la convexité. Un ensemble A qui vérifie « il existe P dans A tel que, quel que soit Q dans A, le segment [PQ] est tout entier inclus dans A » est qualifié d’étoilé (starshaped en anglais).