conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib, où a et b sont des réels, est le nombre complexe z̄ = a − ib, obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire. Dans le plan complexe, z et z̄ sont symétriques par rapport à l'axe réel. Le conjugué vérifie plusieurs propriétés fondamentales : le produit z · z̄ = a² + b² est un réel positif égal au carré du module de z ; la somme z + z̄ = 2a est un réel égal au double de la partie réelle. La conjugaison est une involution : le conjugué du conjugué d'un nombre complexe est ce nombre lui-même. Elle est également compatible avec les opérations algébriques : le conjugué d'une somme, d'un produit ou d'un quotient est respectivement la somme, le produit ou le quotient des conjugués.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Former le conjugué en changeant seulement le signe de la partie imaginaire.
- Refaire le calcul complet sur 3 + 4i et contrôler le résultat.
- Relier la conjugaison au module, à la partie réelle et à la symétrie du plan complexe.
- Reconnaître les cas particuliers et la condition nécessaire pour les quotients.
En clair
Prenez le nombre complexe 3 + 4i. Son conjugué garde 3 et remplace +4i par −4i : il vaut donc 3 − 4i. Seule la partie imaginaire change de signe.
Dans le plan complexe, 3 + 4i se place quatre unités au-dessus de l’axe réel, tandis que 3 − 4i se place quatre unités au-dessous. Les deux points sont à la même distance de cet axe et se font face comme dans un miroir.
Définition
Soit un nombre complexe noté z, écrit z = a + ib, où a est sa partie réelle, b le coefficient réel de sa partie imaginaire et i le nombre dont le carré vaut −1. Le conjugué de z, noté z̄, est a − ib. Cette transformation conserve la partie réelle et change seulement le signe de la partie imaginaire. Géométriquement, les points d’affixes z et z̄ sont symétriques par rapport à l’axe réel.
Le produit avec le conjugué et la somme des deux nombres donnent des réels :
Le premier est positif ou nul et vaut le carré du module de z ; le second vaut deux fois sa partie réelle.
Conjuguer deux fois rend le nombre de départ : . La conjugaison respecte aussi l’addition et la multiplication. Elle respecte la division lorsque le dénominateur est non nul : le conjugué d’une somme, d’un produit ou d’un quotient s’obtient en conjuguant chaque terme.
Un exemple, pas à pas
On part du nombre complexe z = 3 + 4i. Les données sont sa partie réelle, égale à 3, et le coefficient de sa partie imaginaire, égal à 4. On cherche son conjugué, puis on contrôle le résultat avec le produit et la somme.
1. On conserve la partie réelle 3.
2. On change +4i en −4i : z̄ = 3 − 4i.
3. On multiplie les deux nombres :
2. On change +4i en −4i : z̄ = 3 − 4i.
3. On multiplie les deux nombres :
4. On les additionne : z + z̄ = 6.
Le conjugué recherché est donc 3 − 4i. Le produit 25 est le carré du module de z, ce qui donne |z| = 5. La somme 6 est bien le double de la partie réelle 3. Enfin, conjuguer 3 − 4i redonne 3 + 4i : les trois contrôles concordent.
En pratique
Pour calculer sans racine le carré du module de 3 + 4i, on le multiplie par 3 − 4i et on obtient 25. On préfère ce produit au calcul du module lorsque seule une comparaison de carrés suffit.
Pour faire disparaître la partie imaginaire d’un dénominateur complexe non nul, on multiplie numérateur et dénominateur par son conjugué. On garde la division directe lorsque le dénominateur est déjà réel.
Pour placer le conjugué d’un point dans le plan complexe, on conserve son abscisse et on inverse le signe de son ordonnée. Cette symétrie est plus sûre qu’un nouveau calcul lorsque les coordonnées sont déjà connues.
À ne pas confondre
Le conjugué et l’opposé. Pour z = a + ib, le conjugué est a − ib, tandis que l’opposé est −a − ib. Le critère est la partie réelle : elle reste a dans le premier cas et devient −a dans le second. Ainsi, le conjugué de 3 + 4i est 3 − 4i, et son opposé est −3 − 4i.
Le conjugué et le module. Le conjugué est généralement un nombre complexe, alors que le module est un réel positif ou nul. Pour 3 + 4i, le conjugué vaut 3 − 4i et le module vaut 5 : la nature du résultat permet de les distinguer.
Limites et pièges
Partie imaginaire nulle. Si b = 0, le nombre z = a est réel et son conjugué est encore a. L’absence de changement n’est pas une erreur : les points de l’axe réel sont leurs propres symétriques.
Partie réelle nulle. Si a = 0, le nombre z = ib est imaginaire pur et son conjugué −ib est aussi son opposé. Cette coïncidence particulière ne vaut pas pour 3 + 4i, dont l’opposé et le conjugué diffèrent.
Produit au cas zéro. Pour z = 0, le produit z · z̄ vaut 0. Le carré du module est donc positif au sens large, c’est-à-dire supérieur ou égal à zéro, et non toujours strictement positif.
Quotient. La règle sur le conjugué d’un quotient suppose un dénominateur non nul. Si ce dénominateur vaut 0, le quotient n’existe pas ; il ne faut donc pas appliquer mécaniquement la propriété.
Pour aller plus loin
plan complexe — Pour relier l’écriture a + ib aux coordonnées du point qui la représente.
Partie réelle — Pour isoler la composante que la conjugaison laisse inchangée.
Des nombres pas si complexes — Pour replacer le conjugué dans une présentation plus large des nombres complexes.
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