Convergence étroite

Imaginez une masse de probabilité concentrée au point 1, puis au point 1/2, au point 1/3, et ainsi de suite. La masse se rapproche de 0. Pour observer ce déplacement sans s'accrocher à un point isolé, on applique une fonction continue et bornée, puis on regarde sa valeur moyenne. Si toutes ces moyennes tendent vers celle obtenue avec la masse placée en 0, les mesures convergent étroitement.

Soit une suite de mesures de probabilité boréliennes notées μ_n, définies sur un espace topologique où les fonctions continues bornées constituent les fonctions tests. La mesure de probabilité borélienne μ est leur limite étroite lorsque, pour chaque fonction test f continue et bornée, les intégrales convergent selon le critère suivant.

L'espace C_b désigne ici l'ensemble des fonctions continues bornées. La bornitude garantit que toutes les intégrales affichées sont finies pour des mesures de probabilité. Lorsque μ_n et μ sont les lois de variables aléatoires, cette propriété est la convergence en loi. Elle décrit la stabilisation des distributions, sans exiger que les variables soient construites sur le même espace probabilisé ni qu'elles se rapprochent réalisation par réalisation. Ce cadre est notamment celui dans lequel s'expriment les théorèmes centraux limites.

Pour chaque entier n supérieur ou égal à 1, la mesure μ_n place toute la probabilité au point 1/n. La mesure candidate μ place toute la probabilité au point 0. La trajectoire des masses illustre leur rapprochement vers 0, mais la preuve doit porter sur toutes les fonctions tests admissibles.

Données.
μ_n est la masse de Dirac au point 1/n.
μ est la masse de Dirac au point 0.
f est une fonction continue et bornée quelconque.

Étapes.
1. Intégrer f contre une masse de Dirac revient à évaluer f au point qui porte la masse.
2. On obtient donc $\int f\mathrm{d}{\mu }_n=f(1\mathrm{/}n)\backslash int\; f\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mu\_n=f(1/n)$ et $\int f\mathrm{d}\mu =f(0)\backslash int\; f\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash mu=f(0)$.
3. Comme 1/n tend vers 0 et que f est continue en 0, f(1/n) tend vers f(0).
4. Le critère vaut pour toute f continue bornée : μ_n converge étroitement vers μ.

Un contrôle concret consiste à choisir $f(x)=\frac{x}{1+\mid x\mid }f(x)=\backslash frac\{x\}\{1+\backslash lvert\; x\backslash rvert\}$, qui est continue et bornée. Les intégrales valent alors 1/(n + 1) pour μ_n et 0 pour μ ; leur différence tend bien vers 0. Ce contrôle confirme le calcul pour cette fonction, tandis que l'argument par continuité établit le résultat pour toutes les fonctions tests.

Pour étudier la loi d'une suite de variables aléatoires, on passe de chaque variable à sa mesure de probabilité. La convergence étroite est adaptée lorsque l'on veut décrire la distribution limite, sans comparer les réalisations sur un même espace probabilisé.

Dans un théorème central limite, on normalise des sommes puis on cherche si leurs lois approchent une loi limite. Le geste utile consiste à identifier les lois et à établir leur convergence étroite, souvent au moyen d'un critère équivalent adapté au problème.

Pour une approximation numérique ou une simulation, on teste des moyennes de plusieurs fonctions continues bornées. Leur stabilisation fournit un diagnostic, mais quelques tests ne prouvent jamais à eux seuls la convergence étroite, car la définition exige toutes les fonctions tests.

Convergence en probabilité. Elle compare des variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, tandis que la convergence étroite compare leurs lois. La première implique la seconde, mais pas réciproquement. Si X vaut −1 ou 1 avec probabilités égales et si X_n = (−1)ⁿX, toutes les lois sont identiques ; pourtant, pour les indices impairs, |X_n − X| vaut toujours 2.

Convergence sur chaque ensemble mesurable. Cette convergence demanderait que μ_n(A) tende vers μ(A) pour tout ensemble mesurable A. Elle est plus exigeante. Dans l'exemple des masses en 1/n, la convergence étroite vers la masse en 0 est acquise, mais μ_n({0}) vaut 0 pour tout n alors que μ({0}) vaut 1.

Une fonction discontinue n'est pas un test autorisé. L'indicatrice du singleton {0} saute en 0. Dans l'exemple des masses en 1/n, ses intégrales restent égales à 0 puis valent 1 pour la mesure limite. Ce constat ne contredit pas la convergence étroite ; il faut revenir aux fonctions continues bornées.

La masse peut s'échapper à l'infini. Sur la droite réelle, les masses de Dirac placées en n n'ont pas de limite étroite parmi les mesures de probabilité. Les fonctions continues à support compact verraient une limite nulle, alors que la fonction constante égale à 1 impose une masse totale égale à 1. Pour extraire une sous-suite convergente, il faut notamment contrôler que les masses restent concentrées dans des compacts.

Les moments ne convergent pas automatiquement. La mesure qui place une masse 1 − 1/n en 0 et une masse 1/n en n converge étroitement vers la masse en 0. Son espérance vaut pourtant exactement 1 pour tout n, contre 0 à la limite. Pour passer aux moments, il faut ajouter un contrôle d'intégrabilité adapté.

convergence en loi — Relier le critère sur les mesures au vocabulaire usuel des variables aléatoires.

fonction caractéristique — Étudier un outil classique pour établir la convergence des lois.

théorème central limite — Voir une application majeure où une suite de lois admet une limite.