fonction associée

Imaginez la courbe d’une fonction dessinée sur une feuille souple. On peut la faire glisser, la resserrer, l’élargir ou la retourner, sans choisir ses points un par un. Une fonction associée décrit précisément ces gestes à l’aide de quatre nombres.

Deux nombres modifient la position et l’échelle horizontales avant le calcul de la fonction. Deux autres règlent ensuite la hauteur et l’échelle verticales. La nouvelle courbe reste ainsi entièrement déterminée par la courbe de départ et ces quatre réglages.

Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Une fonction associée à f est une fonction g obtenue en composant une transformation affine de la variable, l’action de f, puis une transformation affine des valeurs. Avec deux réels non nuls a et λ, et deux réels b et c, elle est donnée par :

Son domaine est l’ensemble des réels x pour lesquels ax + b appartient à I ; il vaut donc {x ∈ ℝ | ax + b ∈ I}. Le paramètre a règle l’échelle horizontale par le facteur 1/|a| et inverse le sens horizontal lorsque a est négatif. Le décalage horizontal vaut −b/a, et non b pris isolément. Le paramètre λ multiplie toutes les ordonnées par |λ| et les retourne autour de l’axe des abscisses lorsque λ est négatif. Enfin, c ajoute une translation verticale. Un point de la courbe de f, de coordonnées (u ; f(u)), correspond ainsi au point de la courbe de g de coordonnées ((u − b)/a ; λf(u) + c). Ces opérations peuvent produire une transformation anisotrope : le facteur horizontal n’est pas nécessairement égal au facteur vertical.

La construction réunit six données. La fonction de départ f fournit les ordonnées, et son intervalle I fixe les entrées autorisées. Le coefficient a change l’échelle horizontale et peut inverser son sens. Le nombre b participe au décalage horizontal : sa position effective dépend aussi de a, puisque ce décalage vaut −b/a. Le coefficient λ change l’échelle verticale et peut retourner les ordonnées. Le nombre c déplace finalement toute la courbe vers le haut ou le bas.

L’expression ax + b doit d’abord appartenir à I pour que f puisse être évaluée ; λ et c n’agissent qu’ensuite sur la valeur obtenue. Ces données suffisent à calculer g en chaque point de son domaine et à construire sa courbe. La couleur, l’épaisseur du tracé et le choix de l’échelle du dessin ne définissent pas la fonction associée.

On part de la parabole de la fonction f qui, à tout réel x, associe x². On choisit une fonction associée qui resserre cette parabole horizontalement, la retourne verticalement et déplace son sommet.

Données
La fonction de départ est f(x) = x², définie sur ℝ.
Les paramètres sont a = 2, b = −2, λ = −1/2 et c = 3.

1. On remplace d’abord x par 2x − 2 : $f(2x-2)=(2x-2{)}^{2}f(2x-2)=(2x-2)^2$.

2. On multiplie cette valeur par −1/2, puis on ajoute 3 : $g(x)=-\frac{1}{2}(2x-2{)}^2+3g(x)=-\backslash frac\{1\}\{2\}(2x-2)^2+3$.

3. Comme 2x − 2 = 2(x − 1), la forme réduite est $g(x)=-2(x-1{)}^2+3g(x)=-2(x-1)^2+3$. Le sommet de la nouvelle parabole est donc (1 ; 3).

4. Pour contrôler le tracé, les entrées −2, 0 et 2 de f donnent respectivement les points (0 ; 1), (1 ; 3) et (2 ; 1) sur g. La comparaison graphique rend visibles ce sommet et ces correspondances.

Un contrôle direct confirme le résultat : g(0) = −1/2 × f(−2) + 3 = −1/2 × 4 + 3 = 1, tandis que la forme réduite donne aussi −2(0 − 1)² + 3 = 1.

Pour tracer rapidement une courbe, on repère d’abord quelques points remarquables de f, puis on transforme leurs coordonnées. Cette voie est préférable au calcul point par point lorsque la courbe de départ est connue et que les paramètres sont simples.

Pour lire une expression comme λf(ax + b) + c, on sépare les actions horizontales, placées à l’intérieur de f, des actions verticales, placées à l’extérieur. Le calcul algébrique direct reste préférable si l’on cherche une valeur unique de g plutôt qu’un tracé complet.

Pour vérifier un dessin, on choisit un point (u ; f(u)) facile à reconnaître et on contrôle son image ((u − b)/a ; λf(u) + c). Si ce point manque, le décalage horizontal ou l’ordre des opérations a probablement été mal lu.

Fonction affine. Une fonction affine a la forme x ↦ mx + p. Une fonction associée peut être non affine : avec f(x) = x², la fonction g(x) = −2(x − 1)² + 3 reste quadratique.

Fonction composée. Dans g(x) = λf(ax + b) + c, la partie f(ax + b) est bien une composition avec une fonction affine. Toutefois, le terme fonction associée inclut aussi la transformation extérieure des valeurs par λ et c. Par exemple, ajouter c déplace les ordonnées sans modifier l’entrée de f.

Homothétie du plan. Une homothétie emploie le même rapport dans toutes les directions. Ici, les rapports horizontal 1/|a| et vertical |λ| peuvent différer. Avec a = 2 et λ = −1/2, leurs valeurs absolues coïncident, mais la réflexion verticale reste une opération supplémentaire.

Le domaine peut changer. Si f n’est définie que sur un intervalle I, on ne peut pas tracer g sur tous les réels sans contrôle. Il faut résoudre la condition ax + b ∈ I ; une extrémité ouverte de I reste ouverte après transformation.

Le signe inverse le sens. Lorsque a < 0, l’ordre horizontal des points est renversé. Lorsque λ < 0, les ordonnées changent de signe avant l’ajout de c. Il faut donc suivre la correspondance des coordonnées plutôt que mémoriser seulement « étirer » ou « déplacer ».

Le déplacement horizontal n’est pas b. Le centre du changement de variable se lit en résolvant ax + b = 0, soit x = −b/a. Dans l’exemple, b = −2 mais le sommet se place en x = 1, car −b/a = 2/2 = 1.

Les cas nuls sont exclus par la définition donnée. À a = 0, l’entrée de f devient constante et la courbe obtenue, si f(b) existe, est horizontale. À λ = 0, toutes les valeurs valent c. Ces dégénérescences ne décrivent plus les dilatations réversibles visées ici.

La translation isole le rôle des décalages et aide à relier une formule aux déplacements horizontal et vertical de sa courbe.

L’homothétie permet de comparer un rapport unique appliqué au plan avec les deux facteurs d’échelle, souvent distincts, d’une fonction associée.