fonction de Mercator

Sur une carte de Mercator, les parallèles ne sont pas régulièrement espacés. Près de l'équateur, ils restent serrés ; plus on monte vers un pôle, plus leur écart grandit. La fonction de Mercator transforme ainsi chaque latitude en une hauteur sur la carte.

Cet étirement compense celui des directions horizontales. Les angles tracés localement restent alors fidèles, ce qui explique l'intérêt de la carte pour suivre un cap constant. En revanche, la taille apparente des régions augmente fortement aux hautes latitudes.

La fonction de Mercator associe à une latitude géographique une coordonnée verticale normalisée dans la projection de Mercator. Notons φ la latitude, exprimée en radians, et L(φ) la hauteur correspondante, l'équateur servant d'origine. Pour toute latitude strictement comprise entre −π/2 et π/2, elle est définie par :

La valeur L est sans dimension. Une carte choisit ensuite une échelle et une origine pour la convertir en une coordonnée graphique. La fonction est nulle à l'équateur, positive dans l'hémisphère Nord et négative dans l'hémisphère Sud. Elle est impaire : L(−φ) = −L(φ). Son espacement croissant des parallèles rend la projection conforme, donc fidèle aux angles à petite échelle autour d'un point, mais non aux distances ni aux surfaces. Lorsque φ tend vers un pôle, la valeur absolue de L croît sans borne ; les pôles ne peuvent donc pas apparaître à hauteur finie. Cette relation est aussi l'inverse de la fonction de Gudermann, selon la convention choisie pour cette dernière.

La construction réunit cinq éléments. La latitude φ, comprise strictement entre −90° et 90°, fournit l'entrée ; elle doit être convertie en radians pour la formule. Le demi-angle φ/2, décalé de π/4, place l'argument de la tangente entre 0 et π/2. La tangente produit alors un nombre positif, condition nécessaire pour appliquer le logarithme népérien. Celui-ci donne la hauteur normalisée L. Enfin, l'échelle de la carte transforme cette valeur sans dimension en une position dessinée.

Le domaine de la latitude garantit donc l'existence du logarithme, tandis que la croissance de la tangente puis du logarithme impose l'écartement progressif des parallèles. La latitude et la formule définissent la relation mathématique ; le format de la feuille, l'unité graphique et le choix du méridien central ne la modifient pas. Ces données suffisent à calculer la hauteur de chaque parallèle.

Plaçons le parallèle de latitude 45° nord sur une carte normalisée dont l'équateur a pour hauteur 0. La courbe annoncée par la formule montre la position calculée et l'accélération de l'étirement aux hautes latitudes.

Données.
Latitude : φ = 45° nord.
Conversion angulaire : 45° = π/4 radians.
Origine verticale : L(0) = 0.
Résultat attendu : une hauteur positive et sans dimension.

Étape 1. Remplaçons la latitude par π/4. L'angle placé dans la tangente vaut π/4 + π/8 = 3π/8.

Étape 2. La valeur exacte de la tangente est 1 + √2. Le calcul devient : $L(\pi \mathrm{/}4)=\ln (1+\sqrt{2})\approx \mathrm{0,881374}L(\backslash pi/4)=\backslash ln(1+\backslash sqrt\{2\})\backslash approx\; 0\{,\}881374$.

Étape 3. Le parallèle de 45° nord se place donc à environ 0,881374 unité normalisée au-dessus de l'équateur. Une carte dont le facteur vertical vaut R le placerait à environ 0,881374 × R au-dessus de son origine équatoriale.

Contrôle. Pour 45° sud, l'imparité donne L(−π/4) ≈ −0,881374. Les deux parallèles sont ainsi à égale distance de l'équateur, sur des côtés opposés.

En navigation maritime, une route suivie à angle constant coupe tous les méridiens sous le même angle. Sur une carte de Mercator, cette loxodromie devient une droite : le navigateur peut tracer le cap avec une règle. Si l'objectif est plutôt le trajet le plus court, ce critère ne suffit pas et il faut comparer avec une route adaptée à la géométrie du globe.

Pour construire la grille d'une carte, on calcule L pour chaque latitude choisie, puis on multiplie toutes les valeurs par la même échelle verticale. Les parallèles obtenus s'écartent vers le nord comme vers le sud.

Pour lire des directions locales ou de petites formes, la conformité est le bon critère. Pour comparer les distances ou les surfaces de régions éloignées, la déformation visible aux hautes latitudes signale qu'une autre projection doit être préférée.

La fonction de Mercator n'est pas toute la projection de Mercator. La fonction ne fournit que la coordonnée verticale à partir de la latitude. La projection complète doit aussi associer la longitude à une coordonnée horizontale et fixer une échelle ainsi que des origines. Calculer L(45°) donne donc la hauteur du parallèle de 45°, mais ne situe pas un point tant que sa longitude n'est pas prise en compte.

Aux pôles. Pour φ = ±90°, la formule n'attribue aucune hauteur finie. Le symptôme est une valeur absolue qui augmente sans borne à mesure que la latitude approche un pôle. Il faut donc couper toute carte de Mercator avant ±90°.

Degrés et radians. Introduire directement 45 dans une fonction trigonométrique réglée en radians ne calcule pas la latitude 45°. Il faut d'abord convertir 45° en π/4 radians, comme dans l'exemple.

Hauteur normalisée et distance réelle. La valeur L = 0,881374 n'est ni une longueur terrestre ni, à elle seule, un nombre de centimètres sur la carte. Une échelle commune doit encore la convertir en coordonnée graphique.

Conformité locale. Des angles locaux corrects ne rendent pas les surfaces ni les distances globales fidèles. Une région qui paraît beaucoup plus grande près d'un pôle révèle l'étirement de la projection ; il ne faut pas en déduire son aire relative sur le globe.

Le glossaire projection cartographique replace le passage du globe au plan dans son cadre général et permet de comparer les propriétés que chaque projection privilégie.

La fonction de Gudermann donne le lien réciproque entre une hauteur de Mercator et une latitude, sans quitter le langage des fonctions usuelles.

La notion de loxodromie précise pourquoi une route à cap constant se représente par une droite dans cette projection conforme.

L'article La projection de Mercator développe le contexte cartographique de cette formule et ses effets sur la représentation du monde.